“对勾”函数的应用-函数的应用（一）知识点专题进阶单选题自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['指数（型）函数的单调性'， '“对勾”函数的应用']

正确率80.0%下列函数在定义域上是减函数的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}}$$

B.$$f ( x )=\frac{1} {x}$$

C.$$f ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}$$

D.$$f ( x )=x+\frac{1} {x}$$

2、['函数求值域'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '“对勾”函数的应用']

正确率60.0%若函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{2}{（}{x}{∈}{R}{）}}$$，则函数$$g^{( \textit{x} )}=f^{( \textit{x} )}+\frac{4} {f ( \textit{x} )}$$的值域为（）

A.$${{[}{1}{，}{3}{]}}$$

B.$$[ \frac{1 3} {3}， \， 5 ]$$

C.$$[ 4， ~ ~ \frac{1 3} {3} ]$$

D.$${{[}{4}{，}{5}{]}}$$

3、['函数的最大(小)值'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系'， '“对勾”函数的应用'， '基本不等式的实际应用']

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$${{m}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{m}{（}{0}{<}{m}{<}{1}{）}}$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为椭圆上任意一点，若$$\frac{| \overrightarrow{P F_{2}} |^{2}+| \overrightarrow{P F_{1}} |} {| \overrightarrow{P F_{1}} |}$$的最小值为$$\frac{4} {3}，$$则椭圆的离心率是（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$$\frac{1} {5}$$

4、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比数列的定义与证明'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${\bf S_{n}}， \， \， S_{n}=2^{n+1}-2，$$若存在两项$${{a}_{m}{，}{{a}_{n}}{，}}$$使得$${{a}_{m}{{a}_{n}}{=}{{6}{4}}{，}}$$则$$\frac{1} {\bf m}+\frac{9} {\bf n}$$的最小值为（）

A.$$\frac{1 4} {5}$$

B.$$\frac{1 1} {4}$$

C.$$\frac{8} {3}$$

D.$$\frac{1 0} {3}$$

5、['在给定区间上恒成立问题'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '“对勾”函数的应用']

正确率60.0%己知正实数$${{x}{，}{y}}$$满足$${{x}{+}{y}{+}{3}{=}{x}{y}}$$，若对任意满足条件的$${{x}{，}{y}}$$，都有$${（{x}{+}{y}{）^{2}}{−}{a}{（}{x}{+}{y}{）}{+}{6}{⩾}{0}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的最大值为（）

A.$${{2}{\sqrt {6}}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{4}{\sqrt {6}}}$$

D.$${{8}}$$

6、['在给定区间上恒成立问题'， '“对勾”函数的应用'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%若不等式$${{2}{{x}^{2}}{+}{a}{x}{+}{2}{⩾}{0}}$$对一切$$x \in\langle0， \ \frac{1} {2} ]$$恒成立，则$${{a}}$$的最小值为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{−}{5}}$$

D.$${{−}{3}}$$

7、['在给定区间上恒成立问题'， '“对勾”函数的应用']

正确率60.0%若存在$${{x}{∈}{[}{1}{，}{2}{]}}$$，使不等$$\frac{4 x} {a}+\frac{1} {x} \geq4$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ 0， \ \frac{1 6} {7} ]$$

B.$$( 0， ~ \frac{4} {3} ]$$

C.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~} 0 ) \ \cup[ \frac{1 6} {7}， \mathrm{~}+\infty)$$

D.$$[ \frac{1 6} {7}， \ \frac{4} {3} ]$$

8、['在给定区间上恒成立问题'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '利用基本不等式求最值'， '“对勾”函数的应用']

正确率60.0%$${{n}}$$是正数，若对于任意大于$${{2}{0}{1}{8}}$$的实数$${{x}}$$，总有$$n^{2} x+\frac{x} {x-2 0 1 8} > 2 0 1 9 n^{2}$$成立，则实数$${{n}}$$的取值范围为（）

A.$${{n}{>}{\sqrt {{2}{0}{1}{9}}}{−}{\sqrt {{2}{0}{1}{8}}}}$$

B.$${{0}{<}{n}{<}{\sqrt {{2}{0}{1}{9}}}{−}{\sqrt {{2}{0}{1}{8}}}}$$

C.$${{n}{>}{\sqrt {{2}{0}{1}{9}}}{+}{\sqrt {{2}{0}{1}{8}}}}$$

D.$${{0}{<}{n}{<}{\sqrt {{2}{0}{1}{9}}}{+}{\sqrt {{2}{0}{1}{8}}}}$$

9、['函数中的存在性问题'， '函数的最大(小)值'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%若存在$$x \in[ \frac{1} {2}， \ 3 ]$$，使不等式$${{x}^{2}{−}{a}{x}{+}{1}{⩾}{0}}$$成立，则实数$${{a}}$$取值范围是（）

A.$${{a}{⩽}{2}}$$

B.$$2 \leqslant a \leqslant\frac{5} {2}$$

C.$$a \leq\frac{1 0} {3}$$

D.$$2 \leqslant a \leqslant\frac{1 0} {3}$$

10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '函数求值域'， '利用导数讨论函数单调性'， '“对勾”函数的应用']

正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{+}{(}{k}{+}{1}{)}{{x}^{2}}{+}{(}{k}{+}{5}{)}{x}{−}{1}}$$，其中$${{k}{∈}{R}}$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{(}{0}{，}{1}{]}}$$上不单调，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）

A.$${{(}{−}{5}{，}{−}{2}{]}}$$

B.$${{(}{−}{5}{，}{−}{2}{)}}$$

C.$${{(}{−}{3}{，}{−}{2}{)}}$$

D.$${{(}{−}{3}{，}{−}{2}{]}}$$

1. 解析：

选项A：$$f(x)=2^x$$是指数函数，底数2>1，在定义域上为增函数。

选项B：$$f(x)=\frac{1}{x}$$在定义域$$x \neq 0$$上不单调，例如在$$x>0$$时为减函数，但在$$x<0$$时也为减函数，但整体定义域上不单调。

选项C：$$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$是指数函数，底数0<$$\frac{1}{2}$$<1，在定义域上为减函数。

选项D：$$f(x)=x+\frac{1}{x}$$在$$x>0$$时有极小值点$$x=1$$，不单调。

综上，正确答案是C。

2. 解析：

函数$$f(x)=\sin x+2$$的值域为$$[1,3]$$。

设$$t=f(x) \in [1,3]$$，则$$g(x)=t+\frac{4}{t}$$。

对$$g(t)$$求导得$$g'(t)=1-\frac{4}{t^2}$$，令$$g'(t)=0$$得$$t=2$$。

计算端点及极值点：$$g(1)=5$$，$$g(2)=4$$，$$g(3)=\frac{13}{3}$$。

因此$$g(x)$$的值域为$$[4,5]$$，正确答案是D。

3. 解析：

椭圆方程为$$mx^2+y^2=m$$，即$$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{m}=1$$，$$0

椭圆参数：$$a=1$$，$$b=\sqrt{m}$$，$$c=\sqrt{1-m}$$。

设$$P(x,y)$$在椭圆上，$$|PF_1|+|PF_2|=2a=2$$。

设$$|PF_1|=d$$，则$$|PF_2|=2-d$$。

表达式为$$\frac{(2-d)^2+d}{d}=\frac{4-4d+d^2+d}{d}=\frac{d^2-3d+4}{d}=d+\frac{4}{d}-3$$。

由均值不等式，$$d+\frac{4}{d} \geq 4$$，最小值为$$4-3=1$$。

但题目给出最小值为$$\frac{4}{3}$$，说明$$d$$不能取到2（因为$$d \in [1,2)$$）。

重新分析：当$$d=1$$时，表达式值为2；当$$d$$趋近于2时，表达式趋近于$$\frac{4}{3}$$。

因此椭圆的离心率$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-m}$$，由条件解得$$m=\frac{8}{9}$$，$$e=\frac{1}{3}$$。

正确答案是B。

4. 解析：

由$$S_n=2^{n+1}-2$$得$$a_n=S_n-S_{n-1}=2^n$$（$$n \geq 2$$），且$$a_1=2$$符合。

由$$a_m a_n=64$$得$$2^{m+n}=64=2^6$$，即$$m+n=6$$。

设$$m=1$$，$$n=5$$，则$$\frac{1}{1}+\frac{9}{5}=\frac{14}{5}$$。

设$$m=2$$，$$n=4$$，则$$\frac{1}{2}+\frac{9}{4}=\frac{11}{4}$$。

设$$m=3$$，$$n=3$$，则$$\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}$$。

比较得最小值为$$\frac{14}{5}$$，正确答案是A。

5. 解析：

由$$x+y+3=xy$$得$$xy \geq 3+2\sqrt{xy}$$，解得$$\sqrt{xy} \geq 3$$，即$$xy \geq 9$$。

设$$t=x+y$$，则$$xy=t+3$$，由不等式$$t^2-4(t+3) \geq 0$$得$$t \geq 6$$。

不等式$$(x+y)^2-a(x+y)+6 \geq 0$$化为$$t^2-at+6 \geq 0$$对$$t \geq 6$$恒成立。

即$$a \leq t+\frac{6}{t}$$对$$t \geq 6$$恒成立。

函数$$f(t)=t+\frac{6}{t}$$在$$t \geq 6$$时单调递增，最小值为$$f(6)=7$$。

因此$$a \leq 7$$，最大值为B。

6. 解析：

不等式$$2x^2+ax+2 \geq 0$$对$$x \in (0,\frac{1}{2}]$$恒成立。

分离参数得$$a \geq -\frac{2x^2+2}{x}=-2x-\frac{2}{x}$$。

函数$$f(x)=-2x-\frac{2}{x}$$在$$(0,\frac{1}{2}]$$上单调递增，最大值为$$f(\frac{1}{2})=-5$$。

因此$$a \geq -5$$，最小值为C。

7. 解析：

不等式$$\frac{4x}{a}+\frac{1}{x} \geq 4$$在$$x \in [1,2]$$有解。

分离参数得$$a \leq \frac{4x^2}{4x-1}$$。

设$$f(x)=\frac{4x^2}{4x-1}$$，求导得$$f'(x)=\frac{8x(4x-1)-16x^2}{(4x-1)^2}=\frac{16x^2-8x}{(4x-1)^2}$$。

令$$f'(x)=0$$得$$x=\frac{1}{2}$$（舍去$$x=0$$）。

计算$$f(1)=\frac{4}{3}$$，$$f(2)=\frac{16}{7}$$，$$f(\frac{1}{2})$$无定义。

因此$$a \leq \frac{16}{7}$$，且$$a>0$$（分母不能为零）。

正确答案是A。

8. 解析：

不等式$$n^2x+\frac{x}{x-2018}>2019n^2$$对$$x>2018$$恒成立。

整理得$$n^2(x-2019)>\frac{-x}{x-2018}$$。

设$$t=x-2018$$，$$t>0$$，不等式化为$$n^2(t-1)>\frac{-(t+2018)}{t}$$。

即$$n^2(t-1)t>-t-2018$$，$$n^2t^2-n^2t+t+2018>0$$。

对$$t>0$$恒成立，需判别式$$\Delta=(1-n^2)^2-4n^2 \times 2018<0$$。

解得$$n^2-2n^2 \sqrt{2018}+1-8072n^2<0$$，近似为$$n^2<2019-2\sqrt{2018 \times 2019}$$。

简化得$$0B。

9. 解析：

不等式$$x^2-ax+1 \geq 0$$在$$x \in [\frac{1}{2},3]$$有解。

即$$a \leq x+\frac{1}{x}$$在$$x \in [\frac{1}{2},3]$$有解。

函数$$f(x)=x+\frac{1}{x}$$在$$[\frac{1}{2},1]$$递减，在$$[1,3]$$递增。

计算$$f(\frac{1}{2})=2.5$$，$$f(1)=2$$，$$f(3)=\frac{10}{3}$$。

因此$$a \leq \frac{10}{3}$$，且$$a \geq 2$$（最小值在$$x=1$$时取得）。

正确答案是D。

10. 解析：

函数$$f(x)=x^3+(k+1)x^2+(k+5)x-1$$在$$(0,1]$$上不单调，即导数$$f'(x)=3x^2+2(k+1)x+(k+5)$$在$$(0,1)$$有零点。

由$$f'(0)=k+5$$，$$f'(1)=3+2(k+1)+k+5=3k+10$$。

需$$f'(0)f'(1)<0$$，即$$(k+5)(3k+10)<0$$，解得$$-5

进一步验证$$f'(x)$$在$$(0,1)$$有解，综合得$$-5

正确答案是B。

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