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正确率60.0%已知各项均为正数的数列$${｛{{a}_{n}}{｝}}$$是公比不为$${{1}}$$的等比数列，且$$a_{1} a_{2 0 2 5}=1，$$若$$f ( x )=\frac{4} {1+x^{2}}，$$则$$f ( a_{1} )+f ( a_{2} )+\ldots+f ( a_{2 0 2 5} )=$$（）
D
A.$${{2}{0}{2}{4}}$$
B.$${{4}{0}{4}{8}}$$
C.$${{2}{0}{2}{5}}$$
D.$${{4}{0}{5}{0}}$$
2、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '数列与函数的综合问题']正确率60.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{n+1}=\left\{\begin{aligned} {2 a_{n}， \ 0 \leq a_{n} < \frac{1} {2}，} \\ {2 a_{n}-1， \ \frac{1} {2} \leq a_{n} < 1.} \\ \end{aligned} \right.$$若$$a_{1}=\frac{3} {5}，$$则$$a_{2 0 2 4=}$$（）
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
3、['数列的函数特征'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$$. ~ a_{n}=\frac{n} {n^{2}+1 4}，$$则$${{a}_{n}}$$的最大值是（）
D
A.$$\frac{\sqrt{1 4}} {2 8}$$
B.$$\frac{1} {8}$$
C.$$\frac{3} {2 3}$$
D.$$\frac2 {1 5}$$
4、['等差数列的前n项和的应用'， '等差数列的性质'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%若等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$\frac{a_{1 1}} {a_{1 2}} <-1$$，且其前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$有最大值．则当数列$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和取最大值时，$${{n}}$$的值为（）
C
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$${{2}{2}}$$
D.$${{2}{3}}$$
5、['函数的周期性'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2^{x}$$.若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$f \left( a_{n+1} \right)=\frac{1} {f \left( \frac{1} {1+a_{n}} \right)} \left( n \in{\bf N}^{*} \right)$$，且$$a_{1}=f \left( 0 \right)$$，则下列结论成立的是（）
B
A.$$a_{1 2} > a_{1 5}$$
B.$$a_{1 3} > a_{1 4}$$
C.$$a_{1 5} > a_{1 4}$$
D.$$a_{1 2} > a_{1 4}$$
6、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，其前$${{n}}$$项和是$${{S}_{n}}$$，若$$S_{9} > 0， S_{1 0} < 0$$，则在$$\frac{S_{1}} {a_{1}}， \frac{S_{2}} {a_{2}}， \ldots， \frac{S_{9}} {a_{9}}$$中最大的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{S_{1}} {a_{1}}$$
B.$$\frac{S_{8}} {a_{8}}$$
C.$$\frac{S_{5}} {a_{5}}$$
D.$$\frac{S_{9}} {a_{9}}$$
7、['数列的递推公式'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( \frac{1} {2}-a ) n+1 ( n < 6 )} \\ {} & {{} a^{n-5} ( n \geqslant6 )} \\ \end{aligned} \right.$$若对于任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$都有$$a_{n} > a_{n+1}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
B.$$( \frac{1} {2}， \frac{7} {1 2} )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$$( {\frac{7} {1 2}}， 1 )$$
8、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知甲$${、}$$乙两个容器，甲容器容量为$${{x}}$$，装满纯酒精，乙容器容量为$${{z}}$$，其中装有体积为$${{y}}$$的水$$( x， y < z$$，单位：$${{L}{)}}$$.现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过$$n ( n \in N^{*} )$$次操作之后，乙容器中含有纯酒精$${{a}_{n}{(}}$$单位：$${{L}{)}}$$，下列关于数，列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.当$$x=y=a$$时，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$有最大值$$\frac{a} {2}$$
B.设$$b_{n}=a_{n+1}-a_{n} ( n \in N^{*} )$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为递减数列
C.对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，始终有$$a_{n} \leq\frac{x y} {z}$$
D.对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，都有$$a_{n} \leqslant\frac{x y} {x+y}$$
9、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的性质'， '利用基本不等式求最值'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用'， '“对勾”函数的应用'， '数列与函数的综合问题']正确率19.999999999999996%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}=n^{2}-6 n$$，数列$$\{| a_{n} | \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，则$$\frac{T_{n}} {n}$$的最小值为（）
C
A.$${{6}{\sqrt {2}}{−}{6}}$$
B.$$\frac{1 3} {5}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
10、['函数的新定义问题'， '函数的最大(小)值'， '函数奇、偶性的定义'， '并项求和法'， '分组求和法'， '数列与函数的综合问题']正确率19.999999999999996%设$${{x}}$$是实数，定义$${{[}{x}{]}}$$不超过实数$${{x}}$$的最大整数，如：$$[ 2 ]=2， ~ [ 2. 3 ]=2， ~ [-2. 3 ]=-3$$，记函数$$f ( x )=x-[ x ]$$，函数$$g ( x )=[ 3 x+1 ]+\frac{1} {2}$$，下列命题中正确的个数是（）
①函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{1} {6}， \frac{2} {3} ]$$上有最小值，无最大值；
②$$f (-\frac{1} {2} )=f ( \frac{1} {2} )$$且$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数；
③若$$g ( x )-2 x=0$$的解集为$${{M}}$$，则集合$${{M}}$$的所有元素之和为$${{−}{2}}$$；
④设$$a_{n}=f ( {\frac{2 0 1 2^{n}} {2 0 1 3}} )$$，则当$${{n}}$$为偶数时$$\sum_{i=1}^{n} a_{i}=\frac{n} {2}$$，当$${{n}}$$为奇数时，则$$\sum_{i=1}^{n} a_{i}=\frac{n-1} {2}+\frac{2 0 1 2} {2 0 1 3}$$.
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题设等比数列的公比为$$q$$，首项为$$a_1$$。由题意，$$a_{2025} = a_1 q^{2024}$$，且$$a_1 a_{2025} = a_1^2 q^{2024} = 1$$。
函数$$f(x) = \frac{4}{1+x^2}$$满足$$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{4}{1+x^2} + \frac{4}{1+\frac{1}{x^2}} = 4$$。
由于数列对称，$$f(a_1) + f(a_{2025}) = 4$$，$$f(a_2) + f(a_{2024}) = 4$$，依此类推。共有1012对，加上中间的$$f(a_{1013})$$。
计算$$a_{1013} = a_1 q^{1012} = 1$$（因为$$a_1^2 q^{2024} = 1$$），所以$$f(a_{1013}) = \frac{4}{1+1} = 2$$。
总和为$$1012 \times 4 + 2 = 4050$$，故选D。
--- ### 第2题递推关系为$$a_{n+1} = 2a_n \mod 1$$。计算前几项：
$$a_1 = \frac{3}{5}$$，
$$a_2 = 2 \times \frac{3}{5} - 1 = \frac{1}{5}$$，
$$a_3 = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$，
$$a_4 = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$$，
$$a_5 = 2 \times \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}$$。
可见数列周期为4。计算$$2024 \mod 4 = 0$$，故$$a_{2024} = a_4 = \frac{4}{5}$$，选D。
--- ### 第3题求$$a_n = \frac{n}{n^2 + 14}$$的最大值。对$$a_n$$求导：
$$a_n' = \frac{(n^2 + 14) - n \cdot 2n}{(n^2 + 14)^2} = \frac{14 - n^2}{(n^2 + 14)^2}$$。
令导数为0，得$$n = \sqrt{14}$$。由于$$n$$为整数，取$$n = 3$$或$$4$$。
计算$$a_3 = \frac{3}{23}$$，$$a_4 = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$$。比较得$$a_3 > a_4$$，故选C。
--- ### 第4题等差数列前$$n$$项和有最大值，说明公差$$d < 0$$。由$$\frac{a_{11}}{a_{12}} < -1$$，得$$a_{11} + a_{12} < 0$$。
前$$n$$项和$$S_n$$在$$a_n \geq 0$$且$$a_{n+1} < 0$$时取最大值。由$$a_{11} + a_{12} < 0$$，结合$$d < 0$$，可知$$a_{11} > 0$$，$$a_{12} < 0$$。
故$$S_{11}$$为最大值，但题目问的是数列$$\{S_n\}$$的前$$n$$项和的最大值，即$$n = 11$$时$$S_n$$最大。选项中无11，可能题目描述有误，重新理解为$$S_n$$本身的最大值对应$$n = 11$$，但选项无11，可能为笔误，实际为$$n = 11$$对应选项B（21为干扰）。
更合理推导：由$$S_{21} = 21a_{11}$$，$$S_{22} = 22a_{11} + \frac{22 \times 21}{2}d$$，结合$$a_{11} + a_{12} = 2a_{11} + d < 0$$，得$$S_{21}$$为最大值，选B。
--- ### 第5题由$$f(a_{n+1}) = \frac{1}{f\left(\frac{1}{1 + a_n}\right)}$$，代入$$f(x) = 2^x$$得：
$$2^{a_{n+1}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{1 + a_n}}} = 2^{-\frac{1}{1 + a_n}}$$，故$$a_{n+1} = -\frac{1}{1 + a_n}$$。
计算前几项：
$$a_1 = 2^0 = 1$$，
$$a_2 = -\frac{1}{2}$$，
$$a_3 = -2$$，
$$a_4 = 1$$，
可见周期为3。$$a_{12} = a_3 = -2$$，$$a_{15} = a_3 = -2$$，$$a_{13} = a_1 = 1$$，$$a_{14} = a_2 = -\frac{1}{2}$$。
比较得$$a_{13} > a_{14}$$，选B。
--- ### 第6题由$$S_9 > 0$$，$$S_{10} < 0$$，知$$a_5 > 0$$，$$a_6 < 0$$，且$$S_n$$在$$n = 5$$时取最大值。
$$\frac{S_n}{a_n}$$的极值点与$$S_n$$相同，故在$$n = 5$$时最大，选C。
--- ### 第7题分段数列需满足：
1. 对$$n < 6$$，$$a_n > a_{n+1}$$，即$$\frac{1}{2} - a < 0$$，得$$a > \frac{1}{2}$$。
2. 对$$n \geq 6$$，$$a_n > a_{n+1}$$，即$$a^{n-5} > a^{n-4}$$，得$$0 < a < 1$$。
3. 在$$n = 5$$和$$n = 6$$处，$$a_5 = (\frac{1}{2} - a) \cdot 5 + 1 > a_6 = a$$，解得$$a < \frac{7}{12}$$。
综上，$$a \in \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{12}\right)$$，选B。
--- ### 第8题每次操作后，乙容器中的酒精浓度趋于$$\frac{x}{x + y}$$。选项分析：
A. 当$$x = y = a$$时，极限浓度为$$\frac{1}{2}$$，但数列不一定在第一次操作取最大值，错误。
B. 差值$$b_n$$逐渐减小，正确。
C. 极限浓度为$$\frac{x y}{x + y}$$，但每次操作后$$a_n \leq \frac{x y}{z}$$不一定成立，错误。
D. 对任意$$n$$，$$a_n \leq \frac{x y}{x + y}$$成立，正确。
故选D。
--- ### 第9题由$$S_n = n^2 - 6n$$，得$$a_n = 2n - 7$$（$$n \geq 2$$），$$a_1 = -5$$。
$$|a_n|$$的前$$n$$项和$$T_n$$在$$n \leq 3$$时为递减，$$n \geq 4$$时为递增。计算$$\frac{T_n}{n}$$的最小值在$$n = 5$$时取得：
$$T_5 = 5 + 3 + 1 + 1 + 3 = 13$$，$$\frac{T_5}{5} = \frac{13}{5}$$，选B。
--- ### 第10题分析各命题：
① $$f(x) = x - [x]$$在$$[-\frac{1}{6}, \frac{2}{3}]$$上最小值为0（$$x = 0$$），无最大值，正确。
② $$f(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$$，$$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$$，但$$f(x)$$非偶函数，错误。
③ 解$$[3x + 1] + \frac{1}{2} = 2x$$，得$$x = -\frac{3}{2}$$，$$x = -\frac{1}{2}$$，和为$$-2$$，正确。
④ 计算$$a_n = \left\{\frac{2012^n}{2013}\right}$$，偶数项和为$$\frac{n}{2}$$，奇数项为$$\frac{n-1}{2} + \frac{2012}{2013}$$，正确。
故正确命题为①③④，选C。
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