对数恒等式-4.3 对数知识点月考进阶选择题自测题答案-广东省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f \sp{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=\left\{\begin{matrix} {2 \sp{x}， \left( x < 1 \right)} \\ {f ( x-1 )， \left( x \geq1 \right)} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f \left( l o g_{2} 9 \right)$$的值为（）

A.$${{9}}$$

B.$$\frac{9} {2}$$

C.$$\frac{9} {4}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$

2、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '两角和与差的余弦公式'， '指数式的大小的比较'， '两角和与差的正弦公式'， '对数恒等式'， '特殊角的三角函数值'， '不等式比较大小']

正确率40.0%已知$$a=2^{\frac{1} {2}}， b=\left( 2^{\operatorname{l o g}_{2} 3} \right)^{-\frac{1} {2}}， \， \， \， c=\operatorname{c o s} 5 0^{\circ} \operatorname{c o s} 1 0^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 4 0^{\circ} \operatorname{s i n} 1 7 0^{\circ}$$，则实数$$a， b， c$$的大小关系是（）

A.$$a > c > b$$

B.$$b > a > c$$

C.$$a > b > c$$

D.$$c > b > a$$

3、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '不等式比较大小']

正确率40.0%$$m=-\operatorname{l o g} \frac1 3^{2}， n=3^{\operatorname{l o g}_{2}} \frac1 3， p=2 \operatorname{l o g} \frac1 2^{3}$$，则$$m， n， p$$的大小关系是$${{(}{)}}$$

A.$$p < m < n$$

B.$$m < n < p$$

C.$$m < p < n$$

D.$$p < n < m$$

4、['交集'， '对数恒等式']

正确率60.0%已知集合$$A=\{y | y=e^{l n x}， x > 0 \}， \， \， \， B=\{x |-1 < x < 1 \}$$，则$$A \cap B=( \eta)$$

A.$$( 0，+\infty)$$

B.$$( 0， 1 )$$

C.$$[ 0， 1 )$$

D.$$[ 1，+\infty)$$

5、['函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']

正确率40.0%已知函数$${{f}}$$（$${{x}}$$）是定义在$${{R}}$$上的周期为$${{2}}$$的奇函数，当$$- 1 < x < 0$$时，$${{f}}$$（$${{x}}$$）＝$${{2}^{x}}$$$${{−}{a}}$$，若$$f \left( \operatorname{l o g}_{2} 2 4 \right)=\frac1 3$$，则$$None$$$$None$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

6、['对数恒等式'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {( \frac{1} {2} )^{x}， \; \; x \geqslant2} \\ {f ( x+1 )， \; \; x < 2} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ~ ( \log_{2} 3 ) ~=~ ($$）

A.$$\frac{1} {6}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$${{6}}$$

7、['对数的性质'， '对数恒等式'， '幂指对综合比较大小']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=e^{\left| \operatorname{l n} x \right|}$$，$$a=f ( 1 )$$，$$b=f ( \operatorname{l o g}_{2} \sqrt{3} )$$，$$c=f ( 2^{1. 2} )$$，则（）

A.$$b > c > a$$

B.$$c > b > a$$

C.$$c > a > b$$

D.$$b > a > c$$

8、['底数对对数函数图象的影响'， '对数（型）函数的单调性'， '对数恒等式']

正确率40.0%已知实数$${{a}{，}{b}}$$满足等式$$\operatorname{l o g}_{2} a=\operatorname{l o g}_{3} b$$，下列五个关系式：①$$1 < b < a$$；②$$a < b < 1$$；③$$1 < a < b$$；④$$b < a < 1$$；⑤$${{a}{=}{b}}$$.其中可能成立的序号为（）

A.①②⑤

B.③④⑤

C.①④⑤

D.②③⑤

9、['对数的性质'， '指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '常用对数与自然对数']

正确率40.0%已知实数$$a， ~ b， ~ c， ~ d$$满足$$\frac{l n a+1} {b+1}=\frac{c-2} {d-3}=1，$$则$$( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c} )^{\textit{2}}+\textit{( b-d )}^{\textit{2}}$$的最小值为（）

A.$${{8}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

10、['有理数指数幂的运算性质'， '负分数指数幂'， '对数恒等式']

正确率60.0%计算$$\left( \frac{8} {2 7} \right)^{-\frac1 3}-3^{-\operatorname{l o g}_{3} 2}$$的值为（）

A.$$- \frac{4} {3}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

1. 解析：

首先计算 $$log_2 9$$ 的值，因为 $$2^3 = 8 < 9 < 16 = 2^4$$，所以 $$3 < log_2 9 < 4$$。根据函数定义，当 $$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = f(x-1)$$，因此可以递推：

$$f(log_2 9) = f(log_2 9 - 1) = f(log_2 \frac{9}{2})$$

继续递推，直到 $$log_2 \frac{9}{2^k} < 1$$，此时 $$f(x) = 2^x$$。解得 $$k = 3$$，即 $$log_2 \frac{9}{8} < 1$$，所以：

$$f(log_2 9) = 2^{log_2 \frac{9}{8}} = \frac{9}{8}$$

选项 D 正确。

2. 解析：

计算各变量的值：

$$a = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$$

$$b = (2^{log_2 3})^{-\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$$

$$c = \cos 50^\circ \cos 10^\circ + \cos 140^\circ \sin 170^\circ$$

化简 $$c$$：

$$\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$$，$$\sin 170^\circ = \sin 10^\circ$$，所以：

$$c = \cos 50^\circ \cos 10^\circ - \cos 40^\circ \sin 10^\circ = \cos(50^\circ + 10^\circ) = \cos 60^\circ = 0.5$$

比较得 $$a > c > b$$，选项 A 正确。

3. 解析：

化简各变量：

$$m = -\log_{\frac{1}{3}} 2 = \log_3 2 \approx 0.631$$

$$n = 3^{\log_2 \frac{1}{3}} = 3^{-\log_2 3} \approx 0.192$$

$$p = 2 \log_{\frac{1}{2}} 3 = -2 \log_2 3 \approx -3.170$$

比较得 $$p < n < m$$，选项 D 正确。

4. 解析：

集合 $$A = \{y | y = e^{\ln x}, x > 0\} = \{y | y = x, x > 0\} = (0, +\infty)$$

集合 $$B = \{x | -1 < x < 1\}$$

交集 $$A \cap B = (0, 1)$$，选项 B 正确。

5. 解析：

函数 $$f(x)$$ 是奇函数且周期为 2，所以 $$f(\log_2 24) = f(\log_2 24 - 4)$$，因为 $$4 = \log_2 16$$，所以 $$\log_2 24 - 4 = \log_2 \frac{24}{16} = \log_2 \frac{3}{2}$$

又因为 $$f(x)$$ 是奇函数，$$f(\log_2 \frac{3}{2}) = -f(-\log_2 \frac{3}{2})$$，而 $$-1 < -\log_2 \frac{3}{2} < 0$$，所以 $$f(-\log_2 \frac{3}{2}) = 2^{-\log_2 \frac{3}{2}} - a = \frac{2}{3} - a$$

根据题意 $$\frac{1}{3} = -\left(\frac{2}{3} - a\right)$$，解得 $$a = 1$$，选项 A 正确。

6. 解析：

因为 $$\log_2 3 < 2$$，所以 $$f(\log_2 3) = f(\log_2 3 + 1) = f(\log_2 6)$$

又因为 $$\log_2 6 > 2$$，所以 $$f(\log_2 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 6} = 2^{-\log_2 6} = \frac{1}{6}$$

选项 A 正确。

7. 解析：

函数 $$f(x) = e^{|\ln x|}$$，所以：

$$a = f(1) = e^{|\ln 1|} = 1$$

$$b = f(\log_2 \sqrt{3}) = e^{|\ln (\log_2 \sqrt{3})|}$$，因为 $$\log_2 \sqrt{3} \approx 0.792$$，所以 $$\ln (\log_2 \sqrt{3}) < 0$$，$$b = e^{-\ln (\log_2 \sqrt{3})} = \frac{1}{\log_2 \sqrt{3}} \approx 1.262$$

$$c = f(2^{1.2}) = e^{|\ln 2^{1.2}|} = 2^{1.2} \approx 2.297$$

比较得 $$c > b > a$$，选项 B 正确。

8. 解析：

设 $$\log_2 a = \log_3 b = k$$，则 $$a = 2^k$$，$$b = 3^k$$。

当 $$k > 0$$ 时，$$a > 1$$ 且 $$b > 1$$，且因为 $$2^k < 3^k$$，所以 $$a < b$$，对应关系式 ③。

当 $$k = 0$$ 时，$$a = b = 1$$，对应关系式 ⑤。

当 $$k < 0$$ 时，$$0 < a < 1$$ 且 $$0 < b < 1$$，且因为 $$2^k > 3^k$$，所以 $$a > b$$，对应关系式 ④。

可能成立的序号为 ③④⑤，选项 B 正确。

9. 解析：

由题意得 $$\ln a + 1 = b + 1$$ 和 $$c - 2 = d - 3$$，即 $$\ln a = b$$ 和 $$c - d = -1$$。

设 $$a = e^b$$，则 $$(a - c)^2 + (b - d)^2 = (e^b - c)^2 + (b - (c + 1))^2$$。

最小化该表达式，令导数为零，解得 $$b = 0$$，$$c = 1$$，此时 $$a = 1$$，$$d = 2$$，最小值为 $$(1 - 1)^2 + (0 - 2)^2 = 4$$。

选项 B 正确。

10. 解析：

计算各部分：

$$\left(\frac{8}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$$

$$3^{-\log_3 2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

所以结果为 $$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$$，选项 D 正确。

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