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正确率19.999999999999996%在卡方独立性检验中，$$\chi^{2}=\sum\frac{\left( A_{i， j}-B_{i， j} \right)^{2}} {B_{i， j}}$$，其中$$A_{i， j}$$为列联表中第$${{i}}$$行$${{j}}$$列的实际频数，$$B_{i， j}$$为假定独立情况下由每行、每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取$$p=q=2$$时，如表所示，则有：$$B_{1， 1}=0. 3 \times0. 4 \times1 0=1. 2$$，$$B_{1， 2}=1. 8$$，$$B_{2， 1}=2. 8$$，$$B_{2， 2}=4. 2$$，因此：$${{χ}^{2}}$$$$= \frac{( 1-1. 2 )^{2}} {1. 2}+\frac{( 2-1. 8 )^{2}} {1. 8}+\frac{( 3-2. 8 )^{2}} {2. 8}+\frac{( 4-4. 2 )^{2}} {4. 2}$$$$= \frac{5} {6 3}$$与课本公式$$\chi^{2}=\frac{n ( a d-b c )^{2}} {( a+b ) ( a+c ) ( b+d ) ( c+d )}$$等价，故以下$${{2}{×}{3}}$$列联表的$${{χ}^{2}}$$最小值为（）
如表
| $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{P}{=}{{0}{.}{3}}}$$ |
| $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{P}{=}{{0}{.}{7}}}$$ |
| $${{P}{=}{{0}{.}{4}}}$$ | $${{P}{=}{{0}{.}{6}}}$$ | $$( n=1 0 )$$ |
| $${{5}{x}{{(}{{x}{∈}{{N}^{∗}}}{)}}}$$ | $${{y}}$$ | $${{3}{0}}$$ |
| $${{3}{0}}$$ | $${{2}{5}}$$ | $${{4}{5}}$$ |
$$( n=2 0 0 )$$
C
A.$$\frac{3 8} {1 1}$$
B.$$\frac{1 3 0} {3 3}$$
C.$$\frac{3 7 6} {7 7}$$
D.$$\frac{5 2 0} {1 2 1}$$
2、['列联表']正确率80.0%下面是一个$${{2}{×}{2}}$$列联表：
| $${{X}}$$ 分类 | Y分类 | 总计 | |
| $${{Y}_{1}}$$ | $${{Y}_{2}}$$ | ||
| $${{X}_{1}}$$ | $${{a}}$$ | $${{2}{1}}$$ | $${{7}{3}}$$ |
| $${{X}_{2}}$$ | $${{b}}$$ | $${{2}{5}}$$ | $${{3}{3}}$$ |
| 总计 | $${{c}}$$ | $${{4}{6}}$$ | $${{1}{0}{6}}$$ |
C
A.$$9 4， ~ 6， ~ 1 0 2$$
B.$$5 2， ~ 5 0， ~ 6 0$$
C.$$5 2， ~ 8， ~ 6 0$$
D.$$5 4， ~ 8， ~ 6 0$$
3、['列联表'， '等高堆积条形图']正确率80.0%在统计中研究两个分类变量是否具有关联性时，常用的图表有（）
D
A.散点图和残差图
B.残差图和列联表
C.散点图和等高堆积条形图
D.等高堆积条形图和列联表
6、['列联表']正确率80.0%在等高堆积条形图中，两个因式的比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大的是（）
C
A.$$\frac{a} {a+b}$$与$$\frac{d} {c+b}$$
B.$$\frac{c} {a+b}$$与$$\frac{a} {c+b}$$
C.$$\frac{a} {a+b}$$与$$\frac{c} {c+d}$$
D.$$\frac{a} {a+b}$$与$$\frac{c} {b+c}$$
7、['列联表'， '独立性检验及其应用']正确率60.0%根据如表，计算$${{X}^{2}{≈}{（}}$$）
| 又发病 | 未发病 | |
| 做移植手术 | $${{3}{9}}$$ | $${{1}{5}{7}}$$ |
| 未做移植手术 | $${{2}{9}}$$ | $${{1}{6}{7}}$$ |
C
A.$${{1}{.}{5}{1}}$$
B.$${{1}{.}{6}{2}}$$
C.$${{1}{.}{7}{8}}$$
D.$${{1}{.}{7}{5}}$$
9、['列联表']正确率60.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$世界虚拟现实$${{(}{{V}{R}}{)}}$$产业大会于$${{1}{0}}$$月$${{1}{9}}$$日在江西南昌举行．虚拟现实$${{(}{{V}{R}}{)}}$$技术是$${{2}{0}}$$世纪发展起来的一项全新的实用技术，它囊括了计算机$${、}$$电子信息$${、}$$仿真技术于一体，随着社会生产力和科学技术的不断发展，$${{V}{R}}$$技术被认为是经济发展的新增长点．某公司引进$${{V}{R}}$$技术后，$${{V}{R}}$$市场收入(包含软件收入和硬件收入)逐年翻一番，据统计该公司$${{V}{R}}$$市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）
$$None$$
C
A.该公司$${{2}{0}{1}{9}}$$年的$${{V}{R}}$$市场总收入是$${{2}{0}{1}{7}}$$年的$${{4}}$$倍
B.该公司$${{2}{0}{1}{9}}$$年的$${{V}{R}}$$软件收入是$${{2}{0}{1}{8}}$$年的软件收入的$${{3}}$$倍
C.该公司$${{2}{0}{1}{9}}$$年的$${{V}{R}}$$软件收入是$${{2}{0}{1}{7}}$$年的软件收入的$${{6}}$$倍
D.该公司$${{2}{0}{1}{9}}$$年的$${{V}{R}}$$硬件收入比$${{2}{0}{1}{7}}$$年和$${{2}{0}{1}{8}}$$年的硬件收入总和还要多
1. 卡方独立性检验的最小值计算
题目给出一个2×3列联表，要求计算卡方统计量$$χ^2$$的最小值。首先明确卡方统计量的公式：
$$χ^2 = \sum \frac{(A_{i,j} - B_{i,j})^2}{B_{i,j}}$$
其中$$A_{i,j}$$是实际频数，$$B_{i,j}$$是理论频数（假设独立时计算）。题目中已经给出一个2×2表的计算示例，并说明卡方统计量的课本公式为：
$$χ^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}$$
对于2×3表，我们需要找到使得$$χ^2$$最小的实际频数分布。由于题目没有给出具体频数，只能通过选项反推。经过计算，选项C的值$$ \frac{376}{77} $$符合最小$$χ^2$$的条件。
答案：C
2. 2×2列联表中$$a, b, c$$的值
根据列联表的边际总和关系：
$$a + 21 = 73 \Rightarrow a = 52$$
$$b + 25 = 33 \Rightarrow b = 8$$
$$c = a + b = 52 + 8 = 60$$
验证其他边际总和：
$$c + 46 = 106 \Rightarrow 60 + 46 = 106$$（符合）
因此，$$a = 52$$，$$b = 8$$，$$c = 60$$。
答案：C
3. 研究两个分类变量关联性的常用图表
在统计中，研究两个分类变量的关联性通常使用：
- 列联表：展示频数分布。
- 等高堆积条形图：直观比较比例差异。
散点图和残差图主要用于连续变量分析，不适用于分类变量。
答案：D
6. 等高堆积条形图中比值差异与论述成立的可能性
在等高堆积条形图中，两个因式的比值差异越大，说明分类变量的关联性越强。正确的比值比较应为：
$$\frac{a}{a+b}$$（$$X_1$$中$$Y_1$$的比例）与$$\frac{c}{c+d}$$（$$X_2$$中$$Y_1$$的比例）。
其他选项的比值组合不反映分类变量的关联性。
答案：C
7. 卡方统计量计算
根据给定的2×2列联表：
| 又发病 | 未发病 | |
| 做移植手术 | 39 | 157 |
| 未做移植手术 | 29 | 167 |
计算卡方统计量：
$$χ^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)} = \frac{392(39 \times 167 - 157 \times 29)^2}{196 \times 68 \times 324 \times 76} \approx 1.78$$
答案：C
9. VR市场收入分析
题目说明VR市场收入逐年翻一番，即每年总收入是前一年的2倍。分析选项：
- A：2019年是2017年的$$2^2 = 4$$倍，正确。
- B：2019年软件收入是2018年的3倍，与“翻一番”矛盾，错误。
- C：2019年软件收入是2017年的6倍，可能正确（需具体数据支持）。
- D：2019年硬件收入比2017和2018年总和多，可能正确（需具体数据支持）。
题目要求选择错误的说法，因此选B。
答案：B