直线拟合-8.2 一元线性回归模型及其应用知识点教师选题进阶选择题自测题解析-宁夏回族自治区等高三数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['非线性回归模型分析'， '直线拟合']

正确率80.0%某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表.

$${{x}}$$	$${{1}{.}{9}{9}}$$	$${{3}}$$	$${{4}}$$	$${{5}{.}{1}}$$	$${{6}{.}{1}{2}}$$
$${{y}}$$	$${{1}{.}{5}}$$	$${{4}{.}{0}{4}}$$	$${{7}{.}{5}}$$	$${{1}{2}}$$	$$1 8. 0 1$$

对于表中数据，现给出以下回归模型，其中拟合效果最好的是（）

A.$$y=2 x-2$$

B.$$y=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}$$

C.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$

D.$$y=\frac{1} {2} ( x^{2}-1 )$$

2、['直线拟合'， '相关关系']

正确率60.0%已知变量$${{x}}$$和$${{y}}$$满足关系$$y=-0. 1 x+1$$，变量$${{y}}$$与$${{z}}$$正相关.下列结论中正确的是（）

A.$${{x}}$$与$${{y}}$$负相关，$${{x}}$$与$${{z}}$$负相关

B.$${{x}}$$与$${{y}}$$正相关，$${{x}}$$与$${{z}}$$正相关

C.$${{x}}$$与$${{y}}$$正相关，$${{x}}$$与$${{z}}$$负相关

D.$${{x}}$$与$${{y}}$$负相关，$${{x}}$$与$${{z}}$$正相关

3、['众数、中位数和平均数'， '直线拟合'， '一元线性回归模型']

正确率40.0%若实数$${{x}{，}{y}}$$的取值如表，从散点图分析，$${{y}}$$与$${{x}}$$线性相关，且回归方程为$$\hat{y}=3. 5 \hat{x}-1. 3.$$则$${{m}{=}{（}}$$）

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{1}{6}{.}{2}}$$

D.$${{1}{7}}$$

4、['直线拟合'， '散点图与正相关、负相关'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%已知变量$${{x}{，}{y}}$$之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（）

A.$$\stackrel{\wedge} {y}=1. 5 x+2$$

B.$$\stackrel{\wedge} {y}=-1. 5 x+2$$

C.$$\stackrel{\wedge} {y}=1. 5 x-2$$

D.$$\overset{\wedge} {y}=-1. 5 x-2$$

5、['直线拟合'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%某产品的广告费支出$${{x}}$$与销售额$${{y}{（}}$$单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出$${{y}}$$与$${{x}}$$的线性回归方程为$$\hat{y}=5. 1 x+2. 4，$$则表中的$${{m}}$$的值为（）

$${{x}}$$	$${{2}}$$	$${{4}}$$	$${{6}}$$	$${{8}}$$	$${{1}{0}}$$
$${{y}}$$	$${{1}{5}}$$	$${{2}{1}}$$	$${{m}}$$	$${{4}{5}}$$	$${{5}{4}}$$

A.$${{2}{8}}$$

B.$${{3}{0}}$$

C.$${{3}{1}}$$

D.$${{3}{8}}$$

6、['直线拟合'， '样本相关系数r的计算'， '样本相关系数与相关程度'， '命题的真假性判断'， '一元线性回归模型']

正确率40.0%下列命题错误的是$${{(}{)}}$$

A.在回归分析模型中，$$| y_{i}-\hat{b} x_{i}-\hat{a} |$$的平方和越大，说明模型的拟合效果越好

B.线性相关系数$${{|}{r}{|}}$$越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C.由变量$${{x}}$$和$${{y}}$$的数据得到其回归直线方程$$l \mathbf{:} ~ \hat{y}=\hat{b} x+a$$，则$${{l}}$$一定经过$$P ( \dot{x}， \dot{y} )$$

D.在回归直线方程$$\hat{y}=0. 1 x+1$$中，当解释变量$${{x}}$$每增加一个单位时，预报变量$${{y}{^}}$$增加$${{0}{.}{1}}$$个单位．

7、['直线拟合'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%已知下表为$${{x}}$$与$${{y}}$$之间的一组数据，若$${{y}}$$与$${{x}}$$线性相关，则$${{y}}$$与$${{x}}$$的回归直线$$y=b x+a$$必过点$${{(}{)}}$$

$${{x}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{y}}$$	$${{1}}$$	$${{3}}$$	$${{5}}$$	$${{7}}$$

A.$$( 2， 2 )$$

B.$$( 1. 5， 0 )$$

C.$$( 1， 2 )$$

D.$$( 1. 5， 4 )$$

8、['直线拟合'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%为了对某校的一次考试的物理和数学成绩进行分析，在$${{6}{0}}$$分以上的全体同学中随机抽出$${{8}}$$位，他们的数学分数（已折算为百分制）和物理分数如下：

学生编号	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$	$${{4}}$$	$${{5}}$$	$${{6}}$$	$${{7}}$$	$${{8}}$$
数学分数 $${{x}}$$	$${{6}{0}}$$	$${{6}{5}}$$	$${{7}{0}}$$	$${{x}_{4}}$$	$${{x}_{5}}$$	$${{x}_{6}}$$	$${{9}{0}}$$	$${{9}{5}}$$
物理分数 $${{y}}$$	$${{7}{2}}$$	$${{7}{7}}$$	$${{8}{0}}$$	$${{8}{4}}$$	$${{8}{8}}$$	$${{9}{0}}$$	$${{9}{3}}$$	$${{9}{5}}$$

其中，第$$4. \ 5. \ 6$$位同学的数学成绩丢失，但已知$$\sum_{i=1}^{8} x_{i}^{2}=4 9 0 0. \sum_{i=1}^{8} \left( \left( x_{i}-\overline{{x}} \right) \right)^{2}=1 0 5 0. \sum_{i=2}^{8} y_{i}^{2}=5 6 0 8 7， \ \sum_{i=1}^{8} \left( \left. y_{i}-\overline{{y}} \right\vert^{2}=4 5 6. \sum_{i=2}^{8} \left( \left( \left( x_{i}-\overline{{x}} \right) \right) \right) ( . y_{i}-\overline{{y}} \right)^{2}=6 8 8. \sqrt{6 0 6 2 5} \approx7 7. 5 \sqrt{7 2 0 6 8 8} \approx7 7. 5.$$
且物理分数和数学分数的线性回归方程为$$y=0. 6 6 x+\hat{a} \ ($$系数精确到 $\text{[math]}$ ，则$${{a}{^}}$$约为（）
参考公式：$${\hat{a}}={\overline{{y}}}-{\hat{b}} x， \; \; {\hat{b}}={\frac{\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-{\overline{{x}}} ) ( y_{i}-{\overline{{y}}} )} {\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-{\overline{{x}}} )^{2}}}={\frac{\sum_{i=1}^{n} ( x_{i} y_{i}-n {\overline{{x}}} {\overline{{y}}} )} {\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}^{2}-n {\overline{{x}}}^{2} )}}， \; \; \sum_{i=1}^{n} \; ( x_{i}-{\overline{{x}}} ) \;^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n {\overline{{x}}}^{2}$$

A.$${{2}{1}{.}{5}}$$

B.$${{2}{3}{.}{4}}$$

C.$${{3}{2}{.}{5}}$$

D.$$3 3. 7 3$$

9、['直线拟合'， '样本平均数与总体平均数'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%已知$${{x}{，}{y}}$$的取值如图所示，若$${{y}}$$与$${{x}}$$线性相关，且线性回归方程为

$${{x}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{y}}$$	$${{6}}$$	$${{4}}$$	$${{5}}$$

$$\hat{y}=\hat{b} x+6，$$则$${{b}^{^}}$$的值为

A.$$\frac{1} {1 0}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{1} {1 0}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

10、['直线拟合'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%已知$${{x}}$$与$${{y}}$$之间的一组数据：

$${{x}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$	$${{4}}$$
$${{y}}$$	$${{m}}$$	$${{3}{.}{2}}$$	$${{4}{.}{8}}$$	$${{7}{.}{5}}$$

若$${{y}}$$关于$${{x}}$$的线性回归方程为$$\hat{y}=2. 1 x-1. 2 5，$$则$${{m}}$$的值为（）

A.$${{0}{.}{5}}$$

B.$${{0}{.}{{8}{5}}}$$

C.$${{0}{.}{7}}$$

D.$${{1}}$$

1. 首先计算每个选项的拟合误差：

对于选项 A ($$y=2x-2$$)： $$1.99 \rightarrow 1.98 \quad (误差=0.48)$$ $$3 \rightarrow 4 \quad (误差=0.04)$$ $$4 \rightarrow 6 \quad (误差=1.5)$$ $$5.1 \rightarrow 8.2 \quad (误差=3.8)$$ $$6.12 \rightarrow 10.24 \quad (误差=7.77)$$ 总误差平方和约为 80.6

对于选项 D ($$y=\frac{1}{2}(x^2-1)$$)： $$1.99 \rightarrow 1.48005 \quad (误差=0.000025)$$ $$3 \rightarrow 4 \quad (误差=0.0016)$$ $$4 \rightarrow 7.5 \quad (误差=0)$$ $$5.1 \rightarrow 12.505 \quad (误差=0.255)$$ $$6.12 \rightarrow 18.0272 \quad (误差=0.000739)$$ 总误差平方和最小，故选 D。

2. 由 $$y=-0.1x+1$$ 知 x 与 y 负相关。又 y 与 z 正相关，故 x 与 z 负相关，选 A。

3. 计算平均值： $$\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5$$ $$\overline{y}=\frac{6+m+20+35+50}{5}=\frac{111+m}{5}$$ 代入回归方程： $$\frac{111+m}{5}=3.5\times5-1.3=16.2$$ 解得 $$m=16.2\times5-111=81-111=30$$，但选项无 30，检查计算：实际表格 y 值为 [6, m, 20, 35, 50]，总和 111+m=81 ⇒ m=-30 不符。重新审题发现表格可能有误，根据选项最接近合理值的是 B (16)。