非线性回归模型分析-一元线性回归模型及其应用知识点月考进阶选择题自测题答案-贵州省等高三数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['非线性回归模型分析']

正确率40.0%下表为某外来物种入侵某河流生态后前$${{3}}$$个月的繁殖数量$${{y}}$$$${{(}}$$单位：百只$${{)}}$$的数据，通过相关理论进行分析，可用模型$$y=\mathrm{e}^{1+a t} \， ( a \in R )$$对$${{y}}$$与$${{t}}$$的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第$${{7}}$$个月该物种的繁殖数量为（）

第 $${{t}}$$ 个月	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
繁殖数量 $${{y}}$$ $${{(}}$$ 单位：百只 $${{)}}$$	$$\mathrm{e}^{1. 4}$$	$$\mathrm{e}^{2. 2}$$	$$\mathrm{e}^{2. 4}$$

A.$${{e}^{3}}$$百只

B.$$\mathrm{e}^{3. 5}$$百只

C.$${{e}^{4}}$$百只

D.$$\mathrm{e}^{4. 5}$$百只

2、['非线性回归模型分析']

正确率60.0%用模型$$y=a \mathrm{e}^{k x}$$拟合一组数据$${{(}{{x}_{i}}{，}{{y}_{i}}{)}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{，}{7}{)}{，}}$$其中$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{…}{+}{{x}_{7}}{=}{7}}$$.设$${{z}{=}{{l}{n}}{y}{，}}$$变换后的经验回归方程为$${{z}{ˆ}{=}{x}{+}{4}{，}}$$则$${{y}_{1}{{y}_{2}}{…}{{y}_{7}}{=}}$$（）

A.$$\mathrm{~ e}^{7 0}$$

B.$${{7}{0}}$$

C.$$\mathrm{e}^{3 5}$$

D.$${{3}{5}}$$

3、['非线性回归模型分析']

正确率60.0%某种微生物的繁殖速度$${{y}}$$与生长环境中的营养物质浓度$${{x}}$$相关，在一定条件下可用回归模型$${{y}{=}{2}{{l}{g}}{x}}$$进行拟合.在这个条件下，要使$${{y}}$$增加$${{2}}$$个单位，则应该（）

A.使$${{x}}$$增加$${{1}}$$个单位

B.使$${{x}}$$增加$${{2}}$$个单位

C.使$${{x}}$$增加到原来的$${{2}}$$倍

D.使$${{x}}$$增加到原来的$${{1}{0}}$$倍

4、['非线性回归模型分析']

正确率40.0%已知变量$${{y}}$$关于$${{x}}$$的回归方程为$$\hat{y}=\mathrm{e}^{\hat{b} x-0. 5}，$$其几组数据如下表所示：

$${{x}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$	$${{4}}$$
$${{y}}$$	$${{e}}$$	$${{e}^{3}}$$	$${{e}^{4}}$$	$${{e}^{6}}$$

若$${{x}{=}{5}{，}}$$则预测$${{y}}$$的值为（）

A.$${{e}^{5}}$$

B.$$\mathrm{e}^{\frac{1 1} {2}}$$

C.$${{e}^{7}}$$

D.$$\mathrm{e}^{\frac{1 5} {2}}$$

5、['非线性回归模型分析'， '散点图与正相关、负相关']

正确率60.0%某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率$${{y}}$$和温度$${{x}}$$$${{(}}$$单位：$${^{∘}{C}{)}}$$的关系，在$${{2}{0}}$$个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$${{(}{{x}_{i}}}$$，$${{y}_{i}}$$$${{)}{(}{i}{=}{1}}$$，$${{2}}$$，$${{…}}$$，$${{2}{0}{)}}$$得到如图所示的散点图：
$$None$$
由此散点图，在$${{1}{0}}$$℃至$${{4}{0}}$$℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率$${{y}}$$和温度$${{x}}$$的回归方程类型的是（）

A.$${{y}{=}{a}{+}{b}{x}}$$

B.$${{y}{=}{a}{+}{b}{{x}^{2}}}$$

C.$${{y}{=}{a}{+}{b}{{e}^{x}}}$$

D.$${{y}{=}{a}{+}{b}{{l}{n}}{x}}$$

6、['非线性回归模型分析'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%已知变量$${{x}{，}{y}}$$线性相关，且由观测数据算得样本平均数为$$\overline{{x}}=2， \， \， \， \overline{{y}}=5，$$则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是（）

A.$${{y}{=}{{2}{.}{1}}{x}{+}{{0}{.}{8}}}$$

B.$${{y}{=}{−}{{1}{.}{2}}{x}{+}{{7}{.}{4}}}$$

C.$${{y}{=}{{2}{.}{2}{5}}{x}{+}{{0}{.}{5}}}$$

D.$${{y}{=}{−}{{1}{.}{2}{5}}{x}{+}{{7}{.}{5}{5}}}$$

7、['非线性回归模型分析'， '直线拟合']

正确率40.0%某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前$${{5}}$$天监测到的数据：

第 $${{x}}$$ 天	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$	$${{4}}$$	$${{5}}$$
被感染的计算机数量 $${{y}{(}}$$ 台)	$${{1}{0}}$$	$${{2}{0}}$$	$${{3}{9}}$$	$${{8}{1}}$$	$${{1}{6}{0}}$$

则下列函数模型中能较好地反映计算机在第$${{x}}$$天被感染的数量$${{y}}$$与$${{x}}$$之间的关系的是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{{1}{0}}{x}}$$

B.$${{y}{=}{5}{{x}^{2}}{−}{5}{x}{+}{{1}{0}}}$$

C.$${{y}{=}{5}{⋅}{{2}^{x}}}$$

D.$${{y}{=}{{1}{0}}{l}{o}{{g}_{2}}{x}{+}{{1}{0}}}$$

8、['非线性回归模型分析'， '一元线性回归模型']

正确率60.0%某个实验中，测得变量$${{x}}$$和变量$${{y}}$$的几组数据，如表：

$${{x}}$$	$${{0}{.}{5}{0}}$$	$${{0}{.}{9}{9}}$$	$${{2}{.}{0}{1}}$$	$${{3}{.}{9}{8}}$$
$${{y}}$$	$${{−}{{0}{.}{9}{9}}}$$	$${{0}{.}{0}{1}}$$	$${{0}{.}{9}{8}}$$	$${{2}{.}{0}{0}}$$

则对$${{x}{，}{y}}$$最适合的拟合函数是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$

B.$${{y}{=}{{x}^{2}}{−}{1}}$$

C.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$

D.$${{y}{=}{2}{x}{−}{2}}$$

9、['非线性回归模型分析'， '决定系数R^2'， '直线拟合'， '一元线性回归模型']

正确率40.0%收集一只棉铃虫的产卵数$${{y}}$$与温度$${{x}}$$的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合$${{y}}$$与$${{x}}$$之间的关系，算出了对应的相关指数$${{R}^{2}}$$的值如下表：

拟合曲线	直线	指数曲线	抛物线	二次曲线
回归方程	$${{y}{^}{=}{{1}{9}}{.}{8}{x}{−}{{4}{6}{3}}{.}{7}}$$	$$\hat{y}=e^{0. 2 7 x-3. 8 4}$$	$${{y}{^}{=}{0}{.}{{3}{6}{7}}{{x}^{2}}{−}{{2}{0}{2}}}$$	$${{y}{^}{=}{\sqrt {{(}{x}{−}{0}{.}{{7}{8}}{)}^{2}{−}{1}}}}$$
相关指数 $${{R}^{2}}$$	$${{0}{.}{7}{4}{6}}$$	$${{0}{.}{9}{9}{6}}$$	$${{0}{.}{9}{0}{2}}$$	$${{0}{.}{0}{0}{2}}$$

则这组数据的回归方程的最佳选择应是（）

A.$${{y}{^}{=}{{1}{9}}{.}{8}{x}{−}{{4}{6}{3}}{.}{7}}$$

B.$$\hat{y}=e^{0. 2 7 x-3. 8 4}$$

C.$${{y}{^}{=}{0}{.}{{3}{6}{7}}{{x}^{2}}{−}{{2}{0}{2}}}$$

D.$${{y}{^}{=}{\sqrt {{(}{x}{−}{0}{.}{{7}{8}}{)}^{2}{−}{1}}}}$$

10、['非线性回归模型分析'， '残差'， '命题的真假性判断'， '一元线性回归模型']

正确率40.0%下列说法错误的是$${{(}{)}}$$

A.在回归模型中，预报变量$${{y}}$$的值不能由解释变量$${{x}}$$唯一确定

B.若变量$${{x}{，}{y}}$$满足关系$${{y}{=}{−}{{0}{.}{1}}{x}{+}{1}}$$，且变量$${{y}}$$与$${{z}}$$正相关，则$${{x}}$$与$${{z}}$$也正相关

C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D.以模型$$y=c e^{k x}$$去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设$${{z}{=}{l}{n}{y}}$$，将其变换后得到线性方程$${{z}{=}{{0}{.}{3}}{x}{+}{4}}$$，则$${{c}{=}{{e}^{4}}{，}{k}{=}{{0}{.}{3}}}$$

1. 首先对模型 $$y = \mathrm{e}^{1 + a t}$$ 取对数，得到 $$\ln y = 1 + a t$$。根据表格数据，建立方程组：

$$1.4 = 1 + a \cdot 1 \Rightarrow a = 0.4$$ $$2.2 = 1 + a \cdot 2 \Rightarrow a = 0.6$$ $$2.4 = 1 + a \cdot 3 \Rightarrow a \approx 0.47$$

取平均值 $$a \approx 0.49$$，代入第7个月：

$$\ln y = 1 + 0.49 \times 7 \approx 4.43 \Rightarrow y \approx \mathrm{e}^{4.43}$$

最接近的选项是 D（$$\mathrm{e}^{4.5}$$）。

2. 变换后的回归方程为 $$\hat{z} = x + 4$$，即 $$\ln \hat{y} = x + 4$$。因此：

$$\hat{y} = \mathrm{e}^{x + 4}$$

乘积为：

$$y_1 y_2 \dots y_7 = \mathrm{e}^{x_1 + 4} \cdot \mathrm{e}^{x_2 + 4} \dots \mathrm{e}^{x_7 + 4} = \mathrm{e}^{(x_1 + x_2 + \dots + x_7) + 28} = \mathrm{e}^{7 + 28} = \mathrm{e}^{35}$$

答案为 C。

3. 回归模型为 $$y = 2 \lg x$$。要使 $$y$$ 增加2个单位：

$$2 \lg (k x) - 2 \lg x = 2 \Rightarrow \lg k = 1 \Rightarrow k = 10$$

即 $$x$$ 需增加到原来的10倍，答案为 D。

4. 对回归方程取对数：

$$\ln \hat{y} = \hat{b} x - 0.5$$

利用数据点 $$(1, e)$$：

$$1 = \hat{b} \cdot 1 - 0.5 \Rightarrow \hat{b} = 1.5$$

预测 $$x = 5$$ 时：

$$\ln \hat{y} = 1.5 \times 5 - 0.5 = 7 \Rightarrow \hat{y} = \mathrm{e}^7$$

答案为 C。

5. 散点图呈"S"形增长，最接近对数曲线特征，答案为 D（$$y = a + b \ln x$$）。

6. 回归直线必过样本中心点 $$(2, 5)$$。验证选项：

D：$$y = -1.25 \times 2 + 7.55 = 5.05 \neq 5$$

因此 D 不可能，答案为 D。

7. 观察数据增长趋势接近指数爆炸，模型 $$y = 5 \cdot 2^x$$ 拟合最佳（如 $$x=1$$ 时 $$y=10$$，$$x=2$$ 时 $$y=20$$，$$x=3$$ 时 $$y=40$$ 接近39），答案为 C。

8. 代入 $$x = 0.5$$ 验证：

B：$$y = (0.5)^2 - 1 = -0.75 \approx -0.99$$ D：$$y = 2 \times 0.5 - 2 = -1 \approx -0.99$$

进一步验证 $$x = 3.98$$：

B：$$y = (3.98)^2 - 1 \approx 14.84 \neq 2.00$$ D：$$y = 2 \times 3.98 - 2 = 5.96 \neq 2.00$$

无完美匹配，但 B 更接近非线性趋势，答案为 B。

9. 相关指数 $$R^2$$ 越大拟合越好，指数曲线 $$R^2 = 0.996$$ 最高，答案为 B。

10. D 选项中，变换后方程应为 $$\ln c = 4 \Rightarrow c = \mathrm{e}^4$$，$$k = 0.3$$ 正确。B 选项中，$$y$$ 与 $$z$$ 正相关且 $$y$$ 与 $$x$$ 负相关，则 $$x$$ 与 $$z$$ 应负相关，说法错误。答案为 B。

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