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正确率40.0%某工厂生产某种产品的产量$${{x}{（}}$$吨）与相应的生产成本$${{y}{（}}$$万元）有如下几组样本数据：
| $${{x}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{2}{.}{5}}$$ | $${{3}{.}{1}}$$ | $${{3}{.}{9}}$$ | $${{4}{.}{5}}$$ |
B
A.$${{8}}$$
B.$${{8}{.}{5}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{9}{.}{5}}$$
2、['直线拟合'， '样本相关系数r的计算'， '样本相关系数与相关程度'， '一元线性回归模型']正确率40.0%有下列说法：
$${{(}{1}{)}}$$在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适;这样带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
$${{(}{2}{)}{{R}^{2}}}$$来刻画回归的效果，$${{R}^{2}}$$值越大，说明模型的拟合效果越好;
$${{(}{3}{)}}$$比较两个模型的拟合效果，可比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好
$${{(}{4}{)}}$$线性相关系数$${{r}}$$越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
其中正确命题的个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率40.0%已知变量$${{x}{，}{y}}$$之间的线性回归方程为$${{y}^{∧}{=}{−}{{0}{.}{7}}{x}{+}{{1}{0}{.}{3}}{，}}$$且变量$${{x}{，}{y}}$$之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）
| $${{x}}$$ | $${{6}}$$ | $${{8}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{1}{2}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{6}}$$ | $${{m}}$$ | $${{3}}$$ | $${{2}}$$ |
A
A.$${{m}{=}{4}}$$
B.可以预测，当$${{x}{=}{{2}{0}}}$$时，$${{y}{=}{−}{{3}{.}{7}}}$$
C.变量$${{x}{，}{y}}$$之间呈现负相关关系
D.由表格数据知，该回归直线必过点$${（{9}{，}{4}{）}}$$
4、['一元线性回归模型']正确率80.0%若某商品销售量$${{y}{（}}$$件）与销售价格$${{x}{（}}$$元$${{/}}$$件）负相关，则其回归直线方程可能是（）
C
A.$${{y}^{∧}{=}{−}{{1}{0}}{x}{−}{{1}{0}{0}}}$$
B.$${{y}^{∧}{=}{{1}{0}}{x}{−}{{1}{0}{0}}}$$
C.$${{y}^{∧}{=}{−}{{1}{0}}{x}{+}{{2}{0}{0}}}$$
D.$${{y}^{∧}{=}{{1}{0}}{x}{−}{{2}{0}{0}}}$$
5、['线性回归模型的最小二乘法'， '一元线性回归模型']正确率60.0%利用最小二乘法估计回归直线方程中的$${{a}{，}{b}}$$时，使函数$${{Q}{(}{a}{，}{b}{)}}$$取最小值，其中函数$${{Q}{(}{a}{，}{b}{)}}$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$$\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$$
B.$$\sum_{i=1}^{n} \left( x_{i}-\overline{{x}} \right)^{2}$$
C.$$\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}$$
D.$$\sum_{i=1}^{n} \left( y_{i}-b x_{i}-a \right)^{2}$$
6、['一元线性回归模型']正确率60.0%某研究机构在对具有线性相关的两个变量$${{x}}$$和$${{y}}$$进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得$${{y}}$$关于$${{x}}$$的回归方程为$${{y}{^}{=}{{6}{.}{5}}{x}{+}{{1}{7}{.}{5}}{，}}$$则$${{p}}$$的值为
| $${{x}}$$ | $${{2}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{8}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{3}{0}}$$ | $${{4}{0}}$$ | $${{p}}$$ | $${{5}{0}}$$ | $${{7}{0}}$$ |
D
A.$${{4}{5}}$$
B.$${{5}{0}}$$
C.$${{5}{5}}$$
D.$${{6}{0}}$$
7、['一元线性回归模型']正确率60.0%从自贡市某中学高年级机选取$${{8}}$$名女同学，其身后$${{x}{(}{c}{m}{)}}$$和体草$${{y}{(}{k}{g}{)}}$$有很好的线性相关关系$$y=b x-8 5. 5，$$已知$${{8}}$$名数同学的平均身高和体重分别为$${{x}^{−}{=}{{1}{6}{5}}{c}{m}{，}{{y}^{→}}{=}{{5}{4}{.}{5}}{k}{g}{，}}$$那么身高为$${{1}{7}{2}{c}{m}}$$的女同学体重为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{5}{2}{.}{4}{k}{g}}$$
B.$${{5}{2}{.}{6}{k}{g}}$$
C.$${{6}{0}{.}{4}{k}{g}}$$
D.$${{7}{0}{.}{6}{k}{g}}$$
8、['一元线性回归模型']正确率60.0%已知某种商品的广告费支出$${{x}}$$(单位：万元)与销售额$${{y}}$$(单位：万元)之间有如下对应数据：
| $${{x}}$$ | $${{2}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{8}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{3}{0}}$$ | $${{4}{0}}$$ | $${{5}{0}}$$ | $${{6}{0}}$$ | $${{7}{0}}$$ |
C
A.$${{7}{5}}$$万元
B.$${{8}{5}}$$万元
C.$${{9}{9}}$$万元
D.$${{1}{0}{5}}$$万元
9、['一元线性回归模型']正确率60.0%某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：
| 月份 $${{x}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| 销售额 $${{y}{(}}$$ 万元) | $${{1}{5}{.}{1}}$$ | $${{1}{6}{.}{3}}$$ | $${{1}{7}{.}{0}}$$ | $${{1}{7}{.}{2}}$$ | $${{1}{8}{.}{4}}$$ |
根据上表可得到回归直线方程$${{y}{^}{=}{{0}{.}{7}{5}}{x}{+}{{a}{^}}{，}}$$据此估计，该公司$${{7}}$$月份这种型号产品的销售额为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{9}{.}{5}}$$万元
B.$${{1}{9}{.}{2}{5}}$$万元
C.$${{1}{9}{.}{1}{5}}$$万元
D.$${{1}{9}{.}{0}{5}}$$万元
10、['一元线性回归模型']正确率60.0%已知回归直线方程$${{y}{ˆ}{=}{{b}^{ˆ}}{x}{+}{{a}{ˆ}}}$$中的$$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{{x}} \overline{{y}}} {\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \overline{{x}}^{2}}$$，若根据数据$${{(}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{)}{，}{{(}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{)}}{，}{…}{，}{{(}{{x}_{n}}{，}{{y}_{n}}{)}}}$$所求出的线性回归直线方程为$${{y}{ˆ}{=}{{{b}_{1}}^{ˆ}}{x}{+}{{{a}_{1}}{ˆ}}}$$，根据数据$$\left( \frac{x_{1}} {2}， y_{1} \right)， ~ \left( \frac{x_{2}} {2}， y_{2} \right)， ~ \ldots， ~ \left( \frac{x_{n}} {2}， y_{n} \right)$$所求出的线性回归直线方程为$${{y}{ˆ}{=}{{{b}_{2}}^{ˆ}}{x}{+}{{{a}_{2}}{ˆ}}}$$，则$${{(}{)}}$$
C
A.$${{{b}_{1}}^{ˆ}{=}{2}{{{b}_{2}}^{ˆ}}}$$
B.$${{{b}_{1}}^{ˆ}{=}{4}{{{b}_{2}}^{ˆ}}}$$
C.$$\widehat{b_{1}}=\frac{1} {2} \widehat{b_{2}}$$
D.$$\widehat{b_{1}}=\frac{1} {4} \widehat{b_{2}}$$
1. 解析：
首先计算回归直线的截距$$a$$。已知斜率为$$0.8$$，样本均值$${\overline{x}} = \frac{3+4+5+6}{4} = 4.5$$，$${\overline{y}} = \frac{2.5+3.1+3.9+4.5}{4} = 3.5$$。根据回归直线方程$$y = bx + a$$，代入均值点得：
$$3.5 = 0.8 \times 4.5 + a \Rightarrow a = 3.5 - 3.6 = -0.1$$
回归方程为$$y = 0.8x - 0.1$$。当$$y = 6.7$$时，解方程：
$$6.7 = 0.8x - 0.1 \Rightarrow x = \frac{6.8}{0.8} = 8.5$$
答案为$$B$$。
2. 解析：
逐项分析：
(1) 正确。残差均匀分布且带状区域越窄，说明模型拟合越好。
(2) 正确。$$R^2$$越大，拟合效果越好。
(3) 正确。残差平方和越小，拟合效果越好。
(4) 错误。$$r$$的绝对值越大，相关性越强，但$$r$$的正负仅表示方向。
共有3个正确命题，答案为$$C$$。
3. 解析：
首先计算均值$${\overline{x}} = \frac{6+8+10+12}{4} = 9$$，$${\overline{y}} = \frac{6+m+3+2}{4} = \frac{11+m}{4}$$。回归直线必过点$$(9, \frac{11+m}{4})$$，代入回归方程$$y = -0.7x + 10.3$$：
$$\frac{11+m}{4} = -0.7 \times 9 + 10.3 \Rightarrow \frac{11+m}{4} = 4 \Rightarrow m = 5$$
选项$$A$$错误。其他选项验证：
$$B$$：当$$x=20$$时，$$y = -0.7 \times 20 + 10.3 = -3.7$$，正确。
$$C$$：斜率为负，呈现负相关，正确。
$$D$$：回归直线过点$$(9,4)$$，但实际$${\overline{y}} = 4$$时$$m=5$$，矛盾，错误。
答案为$$A$$。
4. 解析：
销售量$$y$$与价格$$x$$负相关，回归方程斜率应为负。排除$$B$$和$$D$$。再检查截距：
$$C$$选项$$y = -10x + 200$$，当$$x=0$$时$$y=200$$合理，答案为$$C$$。
5. 解析：
最小二乘法通过最小化残差平方和估计参数，即：
$$Q(a,b) = \sum_{i=1}^n (y_i - bx_i - a)^2$$
答案为$$D$$。
6. 解析：
计算均值$${\overline{x}} = \frac{2+4+5+6+8}{5} = 5$$，$${\overline{y}} = \frac{30+40+p+50+70}{5} = \frac{190+p}{5}$$。回归直线必过均值点，代入方程$$y = 6.5x + 17.5$$：
$$\frac{190+p}{5} = 6.5 \times 5 + 17.5 \Rightarrow \frac{190+p}{5} = 50 \Rightarrow p = 60$$
答案为$$D$$。
7. 解析：
已知回归方程$$y = bx - 85.5$$，且均值点$$(165, 54.5)$$在直线上：
$$54.5 = b \times 165 - 85.5 \Rightarrow b = \frac{140}{165} = \frac{28}{33}$$
当$$x=172$$时：
$$y = \frac{28}{33} \times 172 - 85.5 \approx 60.4 \, \text{kg}$$
答案为$$C$$。
8. 解析：
计算均值$${\overline{x}} = \frac{2+4+5+6+8}{5} = 5$$，$${\overline{y}} = \frac{30+40+50+60+70}{5} = 50$$。回归直线过$$(5,50)$$，代入$$y = 7x + a$$：
$$50 = 7 \times 5 + a \Rightarrow a = 15$$
当$$x=12$$时：
$$y = 7 \times 12 + 15 = 99$$万元，答案为$$C$$。
9. 解析：
计算均值$${\overline{x}} = \frac{2+3+4+5+6}{5} = 4$$，$${\overline{y}} = \frac{15.1+16.3+17.0+17.2+18.4}{5} = 16.8$$。回归直线过$$(4,16.8)$$，代入$$y = 0.75x + a$$：
$$16.8 = 0.75 \times 4 + a \Rightarrow a = 13.8$$
当$$x=7$$时：
$$y = 0.75 \times 7 + 13.8 = 19.05$$万元，答案为$$D$$。
10. 解析：
斜率公式为$$\hat{b} = \frac{\sum x_i y_i - n \overline{x} \overline{y}}{\sum x_i^2 - n \overline{x}^2}$$。对于第二组数据，$$x_i$$变为$$\frac{x_i}{2}$$，因此：
$$\hat{b_2} = \frac{\sum \frac{x_i}{2} y_i - n \cdot \frac{\overline{x}}{2} \overline{y}}{\sum \left(\frac{x_i}{2}\right)^2 - n \left(\frac{\overline{x}}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2} \sum x_i y_i - \frac{1}{2} n \overline{x} \overline{y}}{\frac{1}{4} \sum x_i^2 - \frac{1}{4} n \overline{x}^2} = 2 \cdot \frac{\sum x_i y_i - n \overline{x} \overline{y}}{\sum x_i^2 - n \overline{x}^2} = 2 \hat{b_1}$$
即$$\hat{b_1} = \frac{1}{2} \hat{b_2}$$，答案为$$C$$。