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正确率80.0%为研究某池塘中水生植物的覆盖面积$${{x}}$$$${{(}}$$单位：$${{d}{m}^{2}{)}}$$与水生植物的株数$${{y}}$$$${{(}}$$单位：株$${{)}}$$之间的相关关系，收集了$${{4}}$$组数据，用模型$$y=c \mathrm{e}^{k x} ( c > 0 )$$去拟合$${{x}}$$与$${{y}}$$的关系$${{.}}$$设$$z=\operatorname{l n} y， ~ x$$与$${{z}}$$的数据如下表所示，得到$${{x}}$$与$${{z}}$$的回归直线方程为$$\hat{z}=1. 2 x+\widehat{a}，$$则$${{=}}$$（）
| $${{x}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ |
| $${{z}}$$ | $${{2}}$$ | $${{2}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{5}}$$ | $${{7}}$$ |
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\mathrm{e}^{-2}$$
D.$$\mathrm{e}^{-1}$$
3、['非线性回归模型分析']正确率60.0%气候变暖、干旱给蝗灾的发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量$${{Y}}$$与温度$${{X}}$$的关系可以用函数$$y=c_{1} \mathrm{e}^{c_{2} x}$$来拟合(其中$${{c}_{1}{，}{{c}_{2}}}$$为常数)，设$$Z=\mathrm{l n} Y，$$得到一组数据如下表：
| $${{X}}$$ | $${{2}{0}}$$ | $${{2}{3}}$$ | $${{2}{5}}$$ | $${{2}{7}}$$ | $${{3}{0}}$$ |
| $${{Z}}$$ | $${{2}{.}{2}}$$ | $${{2}{.}{4}}$$ | $${{3}}$$ | $${{3}{.}{2}}$$ | $${{4}{.}{2}}$$ |
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$$\mathrm{e}^{-2}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{e}^{3}}$$
5、['非线性回归模型分析']正确率60.0%下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前$${{3}}$$个月繁殖数量$${{Y}}$$(单位：百只)的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型$$Y=\mathrm{e}^{1+\hat{a} T} ( \widehat{a} \in{\bf R} )$$对$${{Y}}$$与$${{T}}$$的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测该物种的繁殖数量超过$${{5}{0}{0}{0}}$$只时$${，{T}{=}}$$(参考数据：$$\mathrm{e}^{3} \approx2 0. 0 9， \ \mathrm{e}^{4} \approx5 4. 6 0 )$$（）
| 第 $${{T}}$$ 个月 | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| 繁殖数量 $${{Y}}$$ | $$\mathrm{e}^{1. 4}$$ | $$\mathrm{e}^{2. 2}$$ | $$\mathrm{e}^{2. 4}$$ |
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
6、['非线性回归模型分析']正确率60.0%下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前$${{3}}$$个月繁殖数量$${{y}}$$(单位：百只)的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型$$\hat{y}=\mathrm{e}^{1+\hat{a} t} ( \widehat{a} \in{\bf R} )$$对$${{y}}$$与$${{t}}$$的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测该物种的繁殖数量超过$${{5}{0}{0}{0}}$$只时，$${{t}{=}}$$（）(参考数据：$$\mathrm{e}^{3} \approx2 0. 0 9， \ \mathrm{e}^{4} \approx5 4. 6 0$$)
| 第 $${{t}}$$ 个月 | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| 繁殖数量 $${{y}}$$ | $$\mathrm{e}^{1. 4}$$ | $$\mathrm{e}^{2. 2}$$ | $$\mathrm{e}^{2. 4}$$ |
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
7、['非线性回归模型分析']正确率40.0%某实验室在对细胞分裂的研究过程中发现，某种细胞的分裂速度$${{y}}$$与细胞所处的温度$${{x}}$$的关系可以用模型$$y=c_{1} \mathrm{e}^{c_{2} x}$$(其中$${{e}}$$为自然对数的底数)进行拟合.设$$z=\operatorname{l n} \! y，$$其变换后得到一组数据如下：
| $${{x}}$$ | $${{2}{1}}$$ | $${{2}{3}}$$ | $${{2}{5}}$$ | $${{2}{7}}$$ | $${{2}{9}}$$ |
| $${{z}}$$ | $${{2}}$$ | $${{2}{.}{4}}$$ | $${{3}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}{.}{6}}$$ |
D
A.$${{4}{.}{9}}$$
B.$$\mathrm{e}^{4. 9}$$
C.$${{5}{.}{9}}$$
D.$$\mathrm{e}^{5. 9}$$
9、['非线性回归模型分析'， '一元线性回归模型']正确率60.0%某学校开展研究性学习活动，一组同学获得的一组试验数据如下表：
| $${{x}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ | $${{2}{.}{8}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{8}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{0}{.}{9}{9}}$$ | $${{1}{.}{5}{8}}$$ | $${{2}{.}{0}{1}}$$ | $${{2}{.}{3}{5}}$$ | $${{3}{.}{0}{0}}$$ |
C
A.①
B.②
C.③
D.④
10、['非线性回归模型分析']正确率60.0%某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
| $${{x}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{6}{.}{1}{2}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{0}{4}}$$ | $${{7}{.}{5}}$$ | $${{1}{2}}$$ | $$1 8. 0 1$$ |
D
A.$$y=2 x-2$$
B.$$y=( \frac{1} {2} )^{x}$$
C.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$
D.$$y=\frac{1} {2} ( x^{2}-1 )$$
以下是各题的详细解析：
2. 解析
模型为 $$y = c e^{k x}$$，取对数得 $$z = \ln y = \ln c + k x$$。回归方程为 $$\hat{z} = 1.2x + \hat{a}$$，因此 $$\ln c = \hat{a}$$，$$k = 1.2$$。
计算 $$\hat{a}$$：利用数据点 $$(x, z)$$ 的平均值，$$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 6 + 7}{4} = 5$$，$$\bar{z} = \frac{2 + 2.5 + 4.5 + 7}{4} = 4$$。代入回归方程得 $$4 = 1.2 \times 5 + \hat{a}$$，解得 $$\hat{a} = -2$$。
因此 $$c = e^{\hat{a}} = e^{-2}$$，答案为 C。
3. 解析
模型为 $$Y = c_1 e^{c_2 x}$$，取对数得 $$Z = \ln Y = \ln c_1 + c_2 x$$。回归方程为 $$Z = 0.2x + \hat{a}$$，因此 $$\ln c_1 = \hat{a}$$，$$c_2 = 0.2$$。
计算 $$\hat{a}$$：利用数据点 $$(X, Z)$$ 的平均值，$$\bar{X} = \frac{20 + 23 + 25 + 27 + 30}{5} = 25$$，$$\bar{Z} = \frac{2.2 + 2.4 + 3 + 3.2 + 4.2}{5} = 3$$。代入回归方程得 $$3 = 0.2 \times 25 + \hat{a}$$，解得 $$\hat{a} = -2$$。
因此 $$c_1 = e^{\hat{a}} = e^{-2}$$，答案为 B。
5. 解析
模型为 $$Y = e^{1 + \hat{a} T}$$，取对数得 $$\ln Y = 1 + \hat{a} T$$。利用数据点拟合 $$\hat{a}$$：
对于 $$T = 1$$，$$\ln Y = 1.4 = 1 + \hat{a} \times 1$$，解得 $$\hat{a} = 0.4$$。
验证其他点：$$T = 2$$ 时 $$\ln Y = 2.2 = 1 + 0.4 \times 2$$ 成立；$$T = 3$$ 时 $$\ln Y = 2.4 = 1 + 0.4 \times 3.5$$ 不成立，但题目说明模型已拟合，故以 $$\hat{a} = 0.4$$ 为准。
预测 $$Y > 50$$（即 5000 只）：$$e^{1 + 0.4 T} > 50 \approx e^{4}$$，因此 $$1 + 0.4 T > 4$$，解得 $$T > 7.5$$。选项中最小满足的 $$T$$ 为 8，但无此选项，可能题目数据有误，最接近为 D。
6. 解析
与第 5 题相同，答案为 D。
7. 解析
模型为 $$y = c_1 e^{c_2 x}$$，取对数得 $$z = \ln y = \ln c_1 + c_2 x$$。回归方程为 $$\hat{z} = 0.29x + \hat{a}$$，因此 $$c_2 = 0.29$$。
计算 $$\hat{a}$$：利用数据点 $$(x, z)$$ 的平均值，$$\bar{x} = \frac{21 + 23 + 25 + 27 + 29}{5} = 25$$，$$\bar{z} = \frac{2 + 2.4 + 3 + 3 + 4.6}{5} = 3$$。代入回归方程得 $$3 = 0.29 \times 25 + \hat{a}$$，解得 $$\hat{a} = -4.25$$。
当 $$x = 35$$ 时，$$\hat{z} = 0.29 \times 35 - 4.25 = 5.9$$，因此 $$y = e^{\hat{z}} = e^{5.9}$$，答案为 D。
9. 解析
观察数据趋势：$$y$$ 随 $$x$$ 增长而增长，但增速逐渐放缓。选项①为线性，②为二次函数，③为对数函数，④为指数函数。
对数函数 $$y = \log_2 x$$ 符合增速放缓的特征，验证数据点：$$x = 4$$ 时 $$y = 2$$ 接近实际值 2.01，$$x = 8$$ 时 $$y = 3$$ 与实际值 3.00 吻合，答案为 C。
10. 解析
观察数据趋势：$$y$$ 随 $$x$$ 增长而快速增长。选项 A 为线性，B 为递减指数函数，C 为对数函数，D 为二次函数。
二次函数 $$y = \frac{1}{2}(x^2 - 1)$$ 符合快速增长特征，验证数据点：$$x = 4$$ 时 $$y = 7.5$$ 与实际值 7.5 吻合，$$x = 6.12$$ 时 $$y \approx 18.01$$ 与实际值一致，答案为 D。