一元线性回归模型-8.2 一元线性回归模型及其应用知识点教师选题基础单选题自测题答案-湖南省等高三数学选择必修,平均正确率60.0%

正确率60.0%某钢铁研究所经研究得到结论，废品率$${{x}{%}}$$和每吨生铁成本$${{y}{（}}$$元）之间的回归直线方程为$$\hat{y}=2 5 6+2 x，$$这表明（）

C

A.废品率每吨增加$${{1}{%}}$$，生铁成本增加$${{2}{5}{8}}$$元

B.废品率每吨增加$${{1}{%}}$$，生铁成本增加$${{2}}$$元

C.废品率每吨增加$${{1}{%}}$$，生铁成本每吨增加$${{2}}$$元

D.废品率不变，生铁成本为$${{2}{5}{6}}$$元

正确率60.0%为了解某城镇居民的家庭年收入与年支出的相关关系，随机抽查$${{5}}$$户家庭得如下数据表，根据数据表可得回归直线方程为$$\hat{y}=0. 7 6 x+0. 4，$$则$${{m}{=}{（}}$$）

D

A.$${{6}{.}{8}}$$

B.$${{7}{.}{0}}$$

C.$${{7}{.}{1}}$$

D.$${{7}{.}{5}}$$

正确率40.0%登山族为了了解某山高$$y_{( \: k m )}$$与气温$${{x}{（^{∘}}{C}{）}}$$之间的关系，随机统计了$${{4}}$$次山高与相应的气温，并制作了对照表如下：

C

A.$${{−}{{1}{0}}}$$

B.$${{−}{8}}$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$${{−}{4}}$$

正确率60.0%根据如下样本数据：

A

A.$$\hat{a} > 0， \; \; \hat{b} < 0$$

B.$$\hat{a} > 0， \; \; \hat{b} > 0$$

C.$$\hat{a} < 0， \; \; \hat{b} < 0$$

D.$$\hat{a} < 0， \; \; \hat{b} > 0$$

正确率40.0%已知具有线性相关的五个样本点$$A_{1} ( 0， 0 )， \， \， \， A_{2} ( 2， 2 )， \， \， \， A_{3} ( 3， 2 )， \， \， \， A_{4} ( 4， 2 )， \， \， \， A_{5} ( 6， 4 )$$，用最小二乘法得到回归直线方程$$l_{1} \colon~ y=b x+a$$，过点$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}}$$的直线方程$$l_{2} \colon~ y=m x+n$$，那么下列$${{4}}$$个命题中，
$$\oplus\， m > b， \， \， a > n ;$$直线$${{l}_{1}}$$过点$$A_{3}， \; \oplus\; \sum_{i=1}^{5} ( y_{i}-b x_{i}-a )^{2} \geqslant\sum_{i=1}^{5} ( y_{i}-m x_{i}-n )^{2}$$
$$\oplus\; \sum_{i=1}^{5} | y_{i}-b x_{i}-a | \geqslant\sum_{i=1}^{5} | y_{i}-m x_{i}-n |. \， ($$参考公式$$b={\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x y}} {\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}}={\frac{\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-\bar{x} ) ( y_{i}-\bar{y} )} {\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-\bar{x} )^{2}}}. ~ a=\bar{y}-\bar{b x} )$$
正确命题的个数有$${{(}{)}}$$

B

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

正确率60.0%已知$${{x}{，}{y}}$$的取值如表所示，若$${{y}}$$与$${{x}}$$线性相关，且$$\hat{y}=0. 5 x+\hat{a}，$$则$${{a}{^}{=}{{(}{)}}}$$

A

A.$${{3}{.}{5}}$$

B.$${{2}{.}{2}}$$

C.$${{4}{.}{8}}$$

D.$${{3}{.}{2}}$$

正确率60.0%下列说法中错误的是$${{(}{)}}$$

A

A.随机抽样只能用抽签法

B.线性回归直线$$\hat{y}=b x+a$$一定过样本点的中心$$( \bar{x}， \bar{y} )$$

C.两个随机变量的线性相关性越强，其散点图越呈现在一条直线上

D.一组数据$$1， ~ a， ~ 3$$的平均数是$${{2}}$$，则该组数据的方差是$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

正确率60.0%如表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数$${{y}}$$与当天气温$${{x}{（}}$$单位：$${^{∘}{C}{）}}$$的对比表，已知由表中数据计算得到$${{y}}$$关于$${{x}}$$的线性回归方程为$$\hat{y}=\hat{b} x+2 7，$$则相应于点$$( \ 1 0， \ 2 0 )$$的残差为（）

A

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{−}{{0}{.}{5}}}$$

C.$${{0}{.}{5}}$$

D.$${{1}}$$

正确率60.0%某饮料店某$${{5}}$$天的日销售收入$${{y}{(}}$$单位：百元)与当天平均气温$${{x}{(}}$$单位：$${^{∘}{C}{)}}$$之间的数据如下表：

B

A.$${{3}}$$

B.$${{2}{.}{8}}$$

C.$${{2}{.}{6}}$$

D.$${{2}{.}{4}}$$

1. 题目给出回归直线方程 $$\hat{y}=256+2x$$，其中 $$x$$ 是废品率（%），$$y$$ 是每吨生铁成本（元）。回归系数 $$2$$ 表示废品率每增加 $$1\%$$，生铁成本增加 $$2$$ 元。因此，选项 C 正确。

3. 回归方程为 $$\hat{y}=-2x+\hat{a}$$，需要估计山高为 $$72 \text{km}$$ 时的气温。首先计算样本中心点： $$\bar{x} = \frac{18+13+10+(-1)}{4} = 10$$ $$\bar{y} = \frac{24+34+38+64}{4} = 40$$ 回归直线经过 $$(10, 40)$$，代入得： $$40 = -2 \times 10 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 60$$ 回归方程为 $$\hat{y}=-2x+60$$，当 $$\hat{y}=72$$ 时： $$72 = -2x + 60 \Rightarrow x = -6$$，选项 C 正确。

5. 对于五个样本点 $$A_1(0,0)$$ 到 $$A_5(6,4)$$，计算回归直线 $$l_1$$ 和过 $$A_1, A_2$$ 的直线 $$l_2$$： - 回归直线 $$l_1$$ 的斜率 $$b$$ 和截距 $$a$$ 通过最小二乘法计算： $$\bar{x} = \frac{0+2+3+4+6}{5} = 3$$ $$\bar{y} = \frac{0+2+2+2+4}{5} = 2$$ $$b = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2} = \frac{(-3)(-2)+(-1)(0)+0(0)+1(0)+3(2)}{9+1+0+1+9} = \frac{12}{20} = 0.6$$ $$a = \bar{y} - b\bar{x} = 2 - 0.6 \times 3 = 0.2$$ - 直线 $$l_2$$ 过 $$A_1(0,0)$$ 和 $$A_2(2,2)$$，斜率为 $$m=1$$，截距 $$n=0$$。 比较： 1. $$m=1 > b=0.6$$，且 $$a=0.2 > n=0$$，命题正确。 2. 回归直线不一定过 $$A_3$$，命题错误。 3. 最小二乘法保证 $$\sum (y_i-bx_i-a)^2$$ 最小，故 $$\sum (y_i-bx_i-a)^2 \leq \sum (y_i-mx_i-n)^2$$，命题错误。 4. 同理，绝对值之和也是回归直线更小，命题错误。 综上，只有 1 个命题正确，选项 A 正确。

7. 选项分析： - A 错误，随机抽样不仅限于抽签法，还有随机数表法等。 - B 正确，回归直线必过样本中心点。 - C 正确，线性相关性越强，散点越接近直线。 - D 计算方差： $$\text{平均数} = 2 \Rightarrow 1+a+3=6 \Rightarrow a=2$$ 方差为 $$\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3} = \frac{2}{3}$$，正确。 因此，错误的选项是 A。

9. 回归方程为 $$\hat{y}=-x+m$$，计算样本中心点： $$\bar{x} = \frac{-2+(-1)+0+1+2}{5} = 0$$ $$\bar{y} = \frac{5+4+2+2+1}{5} = 2.8$$ 回归直线经过 $$(0, 2.8)$$，代入得： $$2.8 = -0 + m \Rightarrow m = 2.8$$，选项 B 正确。