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正确率60.0%观察两个变量$${{x}{，}{y}}$$(存在线性相关关系)得如下数据：
| $${{x}}$$ | $${{−}{{1}{0}}}$$ | $${{−}{{6}{.}{9}{9}}}$$ | $${{−}{{5}{.}{0}{1}}}$$ | $${{−}{{2}{.}{9}{8}}}$$ | $${{3}{.}{9}{8}}$$ | $${{5}}$$ | $${{7}{.}{9}{9}}$$ | $${{8}{.}{0}{1}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{−}{9}}$$ | $${{−}{7}}$$ | $${{−}{5}}$$ | $${{−}{3}}$$ | $${{4}{.}{0}{1}}$$ | $${{4}{.}{9}{9}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ |
B
A.$$\hat{y}=\frac{1} {2} x+1$$
B.$${{y}{ˆ}{=}{x}}$$
C.$$\hat{y}=2 x+\frac{1} {3}$$
D.$${{y}{ˆ}{=}{x}{+}{1}}$$
2、['直线拟合'， '样本相关系数与相关程度'， '一元线性回归模型']正确率60.0%下列说法中，正确的是（$${）}$$．
$${①}$$ 相关系数 $${{r}}$$ 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， $${{|}{r}{|}}$$ 越接近于 $${{1}}$$ ，相关性越弱；
$${②}$$ 回归直线 $${{x}{ˆ}{=}{{b}^{ˆ}}{x}{+}{{a}{ˆ}}{—}}$$ 定经过样本点的中心 $$( \overline{{x}}， \overline{{y}} ) \; ;$$
$${③}$$ 残差平方和越小的模型，拟合效果越好；
$${④}$$ 在 $${{2}{×}{2}}$$ 列联表中， $${{|}{a}{d}{−}{b}{c}{|}}$$ 越小，说明两个分类变量之间的关系越强．
D
A.$${①{②}}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${②{③}}$$
3、['直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%如表给出的是变量$${{x}{，}{y}}$$的一组观测数据$${（{{x}_{i}}{，}{{y}_{i}}{）}{（}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{4}{，}{5}{）}}$$，则由这组数据求得的变量$${{x}{、}{y}}$$的回归直线必过点（）
| $${{x}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{2}{.}{8}}$$ | $${{3}{.}{9}}$$ | $${{5}{.}{2}}$$ | $${{6}{.}{0}}$$ | $${{7}{.}{1}}$$ |
A
A.$${（{4}{，}{5}{）}}$$
B.$${（{5}{，}{4}{）}}$$
C.$${（{4}{，}{6}{）}}$$
D.$${（{6}{，}{4}{）}}$$
4、['直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%若线性回归方程为$${{y}{=}{2}{−}{{3}{.}{5}}{x}}$$，则变量$${{x}}$$增加一个单位，变量$${{y}}$$平均（）
A
A.减少$${{3}{.}{5}}$$个单位
B.增加$${{2}}$$个单位
C.增加$${{3}{.}{5}}$$个单位
D.减少$${{2}}$$个单位
5、['直线拟合']正确率60.0%已知两个变量$${{x}{，}{y}}$$之间具有相关关系，现选用$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{d}}$$四个模型得到相应的回归方程，并计算得到了相应的$${{R}^{2}}$$值分别为$${{R}^{2}_{a}{=}{{0}{.}{8}{0}}{，}{{R}^{2}_{b}}{=}{{0}{.}{9}{8}}{，}{{R}^{2}_{c}}{=}{{0}{.}{9}{3}}{，}{{R}^{2}_{d}}{=}{{0}{.}{8}{6}}}$$，那么拟合效果最好的模型为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{a}}$$
B.$${{b}}$$
C.$${{c}}$$
D.$${{D}}$$
6、['直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%已知变量$${{x}{，}{y}}$$有如表中的观察数据，得到$${{y}}$$对$${{x}}$$的回归方程是$${{y}{^}{=}{{0}{.}{8}{3}}{x}{+}{a}{，}}$$则其中$${{a}}$$的值是（）
| $${{x}}$$ | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{2}{.}{4}}$$ | $${{4}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{6}}$$ | $${{6}{.}{5}}$$ |
B
A.$${{2}{.}{6}{4}}$$
B.$${{2}{.}{8}{4}}$$
C.$${{3}{.}{9}{5}}$$
D.$${{4}{.}{3}{5}}$$
7、['直线拟合'， '散点图与正相关、负相关'， '一元线性回归模型']正确率60.0%根据如下样本数据
| | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ |
| | $${{4}}$$ | $${{2}}$$ | $${{1}}$$ | $${{0}}$$ | |
得到的回归方程为$${{y}{^}{=}{{b}^{^}}{x}{+}{{a}{^}}{，}}$$则（）
B
A.$${{a}{^}{>}{0}{，}{{b}^{^}}{>}{0}}$$
B.$${{a}{^}{>}{0}{，}{{b}^{^}}{<}{0}}$$
C.$${{a}{^}{<}{0}{，}{{b}^{^}}{>}{0}}$$< 0，hat {b} >$${{0}}$$
D.$${{a}{^}{<}{0}{，}{{b}^{^}}{<}{0}}$$
8、['线性回归模型的最小二乘法'， '直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%某单位为了落实$${{“}}$$绿水青山就是金山银山$${{”}}$$理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量$${{y}{（}}$$单位：度）与气温$${{x}{（}}$$单位：$${^{∘}{C}{）}}$$之间的关系，随机选取了$${{4}}$$天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：$${{y}^{∧}{=}{−}{2}{x}{+}{{a}^{∧}}}$$，则由此估计：当气温为$${{2}^{∘}{C}}$$时，用电量约为（）
| $${{x}{（}}$$ 单位： $${^{∘}{C}{）}}$$ | $${{1}{7}}$$ | $${{1}{4}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{−}{1}}$$ |
| $${{y}{（}}$$ 单位：度） | $${{2}{4}}$$ | $${{3}{4}}$$ | $${{3}{8}}$$ | $${{6}{4}}$$ |
A
A.$${{5}{6}}$$度
B.$${{6}{2}}$$度
C.$${{6}{4}}$$度
D.$${{6}{8}}$$度
9、['直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%已知台风带来的降水量$${{y}{{m}{m}}}$$与当地的空气湿度$${{x}{g}{/}{{m}^{3}}}$$间的回归方程为$${{y}{^}{=}{{0}{.}{1}{3}{6}}{x}{+}{{2}{1}{0}{.}{1}{1}}{，}}$$则（）
A
A.空气湿度每上升$${{1}{g}{/}{{m}^{3}}}$$，台风带来的降水量大约增加$${{0}{.}{1}{3}{6}{{m}{m}}}$$
B.空气湿度每上升$${{1}{g}{/}{{m}^{3}}}$$，台风带来的降水量大约降低$${{0}{.}{1}{3}{6}{{m}{m}}}$$
C.空气湿度每上升$${{1}{g}{/}{{m}^{3}}}$$，台风带来的降水量大约增加$${{2}{1}{0}{.}{1}{1}{{m}{m}}}$$
D.空气湿度每上升$${{1}{g}{/}{{m}^{3}}}$$，台风带来的降水量大约降低$${{2}{1}{0}{.}{1}{1}{{m}{m}}}$$
10、['直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%为了对某校的一次考试的物理和数学成绩进行分析，在$${{6}{0}}$$分以上的全体同学中随机抽出$${{8}}$$位，他们的数学分数（已折算为百分制）和物理分数如下：
| 学生编号 | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ |
| 数学分数 $${{x}}$$ | $${{6}{0}}$$ | $${{6}{5}}$$ | $${{7}{0}}$$ | $${{x}_{4}}$$ | $${{x}_{5}}$$ | $${{x}_{6}}$$ | $${{9}{0}}$$ | $${{9}{5}}$$ |
| 物理分数 $${{y}}$$ | $${{7}{2}}$$ | $${{7}{7}}$$ | $${{8}{0}}$$ | $${{8}{4}}$$ | $${{8}{8}}$$ | $${{9}{0}}$$ | $${{9}{3}}$$ | $${{9}{5}}$$ |
且物理分数和数学分数的线性回归方程为$${{y}{=}{{0}{.}{6}{6}}{x}{+}{{a}{^}}{（}}$$系数精确到$${{0}{.}{0}{1}{）}}$$，则$${{a}{^}}$$约为（）
参考公式：$${\hat{a}}={\overline{{y}}}-{\hat{b}} x， \; \; {\hat{b}}={\frac{\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-{\overline{{x}}} ) ( y_{i}-{\overline{{y}}} )} {\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-{\overline{{x}}} )^{2}}}={\frac{\sum_{i=1}^{n} ( x_{i} y_{i}-n {\overline{{x}}} {\overline{{y}}} )} {\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}^{2}-n {\overline{{x}}}^{2} )}}， \; \; \sum_{i=1}^{n} \; ( x_{i}-{\overline{{x}}} ) \;^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n {\overline{{x}}}^{2}$$
D
A.$${{2}{1}{.}{5}}$$
B.$${{2}{3}{.}{4}}$$
C.$${{3}{2}{.}{5}}$$
D.$${{3}{3}{.}{7}{3}}$$
1. 观察数据可以发现，$$y$$ 与 $$x$$ 的关系近似为 $$y = x$$。例如，当 $$x = -10$$ 时，$$y = -9$$；当 $$x = 5$$ 时，$$y = 4.99$$；当 $$x = 8.01$$ 时，$$y = 8$$。因此，回归方程为 $$\hat{y} = x$$，选项 B 正确。
2. 分析各说法：
① 错误，$$|r|$$ 越接近于 1，相关性越强。
② 正确，回归直线一定经过样本点的中心 $$(\overline{x}, \overline{y})$$。
③ 正确，残差平方和越小，模型拟合效果越好。
④ 错误，$$|ad - bc|$$ 越大，说明两个分类变量关系越强。
因此，正确的说法是 ② 和 ③，选项 D 正确。
3. 回归直线必过样本点的中心 $$(\overline{x}, \overline{y})$$。计算得：
$$\overline{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6}{5} = 4$$，
$$\overline{y} = \frac{2.8 + 3.9 + 5.2 + 6.0 + 7.1}{5} = 5$$。
因此，回归直线过点 $$(4, 5)$$，选项 A 正确。
4. 回归方程为 $$y = 2 - 3.5x$$，斜率 $$-3.5$$ 表示 $$x$$ 每增加 1 个单位，$$y$$ 平均减少 3.5 个单位，选项 A 正确。
5. $$R^2$$ 值越大，模型拟合效果越好。四个模型中 $$R^2_b = 0.98$$ 最大，因此模型 $$b$$ 拟合效果最好，选项 B 正确。
6. 回归方程为 $$\hat{y} = 0.83x + a$$。计算样本中心：
$$\overline{x} = \frac{0 + 1 + 3 + 4}{4} = 2$$，
$$\overline{y} = \frac{2.4 + 4.5 + 4.6 + 6.5}{4} = 4.5$$。
将 $$(\overline{x}, \overline{y})$$ 代入回归方程：
$$4.5 = 0.83 \times 2 + a \Rightarrow a = 4.5 - 1.66 = 2.84$$，选项 B 正确。
7. 观察数据趋势：随着 $$x$$ 增加，$$y$$ 减小，因此斜率 $$\hat{b} < 0$$；当 $$x = 0$$ 时，$$y$$ 应为正数，因此截距 $$\hat{a} > 0$$，选项 B 正确。
8. 首先计算样本中心：
$$\overline{x} = \frac{17 + 14 + 10 - 1}{4} = 10$$，
$$\overline{y} = \frac{24 + 34 + 38 + 64}{4} = 40$$。
将 $$(\overline{x}, \overline{y})$$ 代入回归方程：
$$40 = -2 \times 10 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 60$$。
因此回归方程为 $$\hat{y} = -2x + 60$$，当 $$x = 2$$ 时，$$\hat{y} = -4 + 60 = 56$$，选项 A 正确。
9. 回归方程 $$\hat{y} = 0.136x + 210.11$$ 表示空气湿度每上升 $$1 g/m^3$$，降水量平均增加 $$0.136 mm$$，选项 A 正确。
10. 根据题目给出的统计量：
$$\sum_{i=1}^8 (x_i - \overline{x})^2 = 1050$$，
$$\sum_{i=1}^8 (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) = 688$$。
斜率 $$\hat{b} = \frac{688}{1050} \approx 0.66$$。
计算 $$\overline{x}$$ 和 $$\overline{y}$$：
$$\sum_{i=1}^8 x_i^2 = 4900$$，$$\sum_{i=1}^8 (x_i - \overline{x})^2 = 1050$$，
由公式 $$\sum_{i=1}^8 x_i^2 - 8\overline{x}^2 = 1050$$，解得 $$\overline{x} = \sqrt{\frac{4900 - 1050}{8}} = \sqrt{481.25} \approx 77.5$$。
同理，$$\sum_{i=1}^8 (y_i - \overline{y})^2 = 456$$，$$\sum_{i=1}^8 y_i^2 = 56087$$，
解得 $$\overline{y} = \sqrt{\frac{56087 - 456}{8}} \approx \sqrt{6953.875} \approx 83.4$$。
截距 $$\hat{a} = \overline{y} - \hat{b}\overline{x} \approx 83.4 - 0.66 \times 77.5 \approx 83.4 - 51.15 = 32.25$$，最接近选项 C $$32.5$$。