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正确率60.0%某服装公司对$${{1}}$$～$${{5}}$$月份的服装销量进行了统计，结果如下：
| 月份 $${{X}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ |
| 销量 $${{Y}}$$ (万件) | $${{5}{0}}$$ | $${{9}{6}}$$ | $${{1}{4}{2}}$$ | $${{1}{8}{5}}$$ | $${{2}{2}{7}}$$ |
B
A.回归直线必过点$$( 3， ~ 1 2 2 )$$
B.$${{b}^{ˆ}{=}{{4}{4}{.}{3}}}$$
C.$${{6}}$$月份的服装销量一定为$$2 7 2. 9$$万件
D.销量一定是逐月增加的
2、['线性回归模型的最小二乘法']正确率60.0%已知$${{X}}$$与$${{Y}}$$之间的一组数据如下表：
| $${{X}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| $${{Y}}$$ | $${{3}{0}}$$ | $${{4}{0}}$$ | $${{6}{0}}$$ | $${{5}{0}}$$ |
C
A.$${{7}{0}}$$
B.$${{6}{3}}$$
C.$${{6}{5}}$$
D.$${{6}{6}}$$
3、['线性回归模型的最小二乘法'， '一元线性回归模型']正确率60.0%某种活性细胞的存活率$${{y}{(}{%}{)}}$$与存放温度$${{x}{{(}^{∘}}{C}{)}}$$之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：
| 存放温度 $${{x}{{(}^{∘}}{C}{)}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{4}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{8}}$$ |
| 存活率 $${{y}{(}{%}{)}}$$ | $${{2}{0}}$$ | $${{4}{4}}$$ | $${{5}{6}}$$ | $${{8}{0}}$$ |
C
A.$${{3}{2}{%}}$$
B.$${{3}{3}{%}}$$
C.$${{3}{4}{%}}$$
D.$${{3}{5}{%}}$$
4、['线性回归模型的最小二乘法']正确率60.0%根据如下样本数据：
| $${{x}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{4}{.}{0}}$$ | $${{2}{.}{5}}$$ | $${{−}{{0}{.}{5}}}$$ | $${{0}{.}{5}}$$ | $${{−}{{2}{.}{0}}}$$ | $${{−}{{3}{.}{0}}}$$ |
A
A.$$\widehat{a} > 0， \widehat{b} < 0$$
B.$$\widehat{a} > 0， \widehat{b} > 0$$
C.$$\widehat{a} < 0， \widehat{b} < 0$$
D.$$\widehat{a} < 0， \widehat{b} > 0$$
5、['线性回归模型的最小二乘法'， '样本相关系数r的计算']正确率60.0%在建立$${{u}}$$与$${{v}}$$的回归模型时，选择了$${{4}}$$种不同模型，其中拟合最好的为（）
B
A.模型$${{1}}$$的相关指数$${{R}^{2}}$$为$${{0}{.}{7}{5}}$$
B.模型$${{2}}$$的相关指数$${{R}^{2}}$$为$${{0}{.}{9}{0}}$$
C.模型$${{3}}$$的相关指数$${{R}^{2}}$$为$${{0}{.}{2}{5}}$$
D.模型$${{4}}$$的相关指数$${{R}^{2}}$$为$${{0}{.}{5}{5}}$$
6、['线性回归模型的最小二乘法'， '直线拟合'， '相关关系'， '一元线性回归模型']正确率40.0%某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用$${{x}}$$与销售利润$${{y}}$$的统计数据如表，由表中数据得线性回归方程$$\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}，$$则下列结论中错误的是（）
| 广告费用 $${{x}{（}}$$ 万元） | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| 销售利润 $${{y}{（}}$$ 万元） | $${{5}}$$ | $${{7}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{1}}$$ |
D
A.$${{b}^{^}{>}{0}}$$
B.$${{y}}$$与$${{x}}$$正相关
C.回归直线过点$$( 4， \ 8 )$$
D.$${{a}{^}{<}{0}}$$
7、['线性回归模型的最小二乘法'， '直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%svg异常
B
A.直线$${{l}}$$过点$$( \overline{{x}}， \overline{{y}} )$$
B.$${{x}}$$和$${{y}}$$的相关系数为直线$${{l}}$$的斜率
C.$${{x}}$$和$${{y}}$$的相关系数在$$[-1， 1 ]$$之间
D.当$${{n}}$$为偶数时，分布在$${{l}}$$两侧的样本点的个数不一定相同
8、['线性回归模型的最小二乘法'， '独立性检验及其应用'， '残差'， '一元线性回归模型']正确率40.0%下列说法：
$${①}$$残差可用来判断模型拟合的效果；
$${②}$$设有一个回归方程$$\stackrel{\wedge} {y}=3-5 x，$$变量$${{x}}$$增加一个单位时，$${{y}}$$平均增加$${{5}}$$个单位；
$${③}$$线性回归方程$$\stackrel{\wedge} {y}=\stackrel{\wedge} {b} x+\stackrel{\wedge} {a}$$必过$$( \， \dot{x}， \， \， \dot{y} )$$；
$${④}$$在一个$${{2}{×}{2}}$$列联表中，由计算得$$k^{2}=1 3. 0 7 9$$，则有$${{9}{9}{%}}$$的把握确认这两个变量间有关系（其中$$P ~ ( ~ k^{2} \geqslant1 0. 8 2 8 ) ~=0. 0 0 1 )$$；
其中错误的个数是（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$．
9、['线性回归模型的最小二乘法'， '直线拟合'， '一元线性回归模型']正确率60.0%某单位为了落实$${{“}}$$绿水青山就是金山银山$${{”}}$$理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量$${{y}{（}}$$单位：度）与气温$${{x}{（}}$$单位：$${^{∘}{C}{）}}$$之间的关系，随机选取了$${{4}}$$天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：$$\overset{\wedge} {y}=-2 x+\overset{\wedge} {a}$$，则由此估计：当气温为$${{2}^{∘}{C}}$$时，用电量约为（）
| $${{x}{（}}$$ 单位： $${^{∘}{C}{）}}$$ | $${{1}{7}}$$ | $${{1}{4}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{−}{1}}$$ |
| $${{y}{（}}$$ 单位：度） | $${{2}{4}}$$ | $${{3}{4}}$$ | $${{3}{8}}$$ | $${{6}{4}}$$ |
A
A.$${{5}{6}}$$度
B.$${{6}{2}}$$度
C.$${{6}{4}}$$度
D.$${{6}{8}}$$度
10、['线性回归模型的最小二乘法'， '样本平均数与总体平均数'， '一元线性回归模型']正确率40.0%$${《}$$普通高中课程标准$${》}$$指出，学科核心素养是育人价值的集中体现，并提出了数学学科的六个核心素养．某机构为了解学生核心素养现状，对某地高中学生数学运算素养$${{x}}$$和数据分析素养$${{y}}$$进行量化统计分析，得到如下统计：
| 数学运算素养 $${{x}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| 数据分析素养 $${{y}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{5}}$$ | $${{5}{.}{5}}$$ | $${{6}{.}{5}}$$ | $${{7}}$$ |
C
A.$${{6}}$$
B.$${{6}{.}{3}}$$
C.$${{1}{0}{.}{2}}$$
D.$${{1}{0}{.}{6}}$$
1. 解析：
首先计算回归系数 $$\hat{b}$$。线性回归方程为 $$Y = \hat{b}X + 7.1$$，回归直线必过样本中心点 $$(\overline{X}, \overline{Y})$$。
计算样本中心点：
$$\overline{X} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$$
$$\overline{Y} = \frac{50 + 96 + 142 + 185 + 227}{5} = \frac{700}{5} = 140$$
将 $$(3, 140)$$ 代入回归方程：
$$140 = \hat{b} \times 3 + 7.1 \Rightarrow \hat{b} = \frac{140 - 7.1}{3} = \frac{132.9}{3} = 44.3$$
因此，选项 B 正确。
回归直线必过 $$(3, 140)$$，而非 $$(3, 122)$$，故选项 A 错误。
选项 C 错误，因为回归方程只能预测 $$6$$ 月份的销量，不能确定一定为 $$272.9$$ 万件。
选项 D 错误，销量虽然呈现上升趋势，但“一定”逐月增加过于绝对。
答案：B
2. 解析：
已知线性回归方程为 $$Y = \hat{b}X + \hat{a}$$，其中 $$\hat{b} = 8$$。
计算样本中心点：
$$\overline{X} = \frac{3+4+5+6}{4} = 4.5$$
$$\overline{Y} = \frac{30 + 40 + 60 + 50}{4} = \frac{180}{4} = 45$$
将 $$(4.5, 45)$$ 代入回归方程求 $$\hat{a}$$：
$$45 = 8 \times 4.5 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 45 - 36 = 9$$
回归方程为 $$Y = 8X + 9$$，预测 $$X = 7$$ 时的值：
$$Y = 8 \times 7 + 9 = 56 + 9 = 65$$
答案：C
3. 解析：
已知经验回归直线的斜率 $$\hat{b} = -3.2$$，回归方程为 $$y = -3.2x + \hat{a}$$。
计算样本中心点：
$$\overline{x} = \frac{10 + 4 + (-2) + (-8)}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
$$\overline{y} = \frac{20 + 44 + 56 + 80}{4} = \frac{200}{4} = 50$$
将 $$(1, 50)$$ 代入回归方程求 $$\hat{a}$$：
$$50 = -3.2 \times 1 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 50 + 3.2 = 53.2$$
回归方程为 $$y = -3.2x + 53.2$$，预测 $$x = 6$$ 时的值：
$$y = -3.2 \times 6 + 53.2 = -19.2 + 53.2 = 34$$
答案：C
4. 解析：
观察样本数据，随着 $$x$$ 的增加，$$y$$ 整体呈下降趋势，故斜率 $$\hat{b} < 0$$。
回归直线在 $$x$$ 较小时 $$y$$ 为正，随着 $$x$$ 增大 $$y$$ 减小至负值，说明截距 $$\hat{a} > 0$$。
答案：A
5. 解析：
相关指数 $$R^2$$ 越接近 $$1$$，模型拟合效果越好。比较选项，模型 $$2$$ 的 $$R^2 = 0.90$$ 最大。
答案：B
6. 解析：
计算样本中心点：
$$\overline{x} = \frac{2+3+5+6}{4} = 4$$
$$\overline{y} = \frac{5+7+9+11}{4} = 8$$
回归直线过 $$(4, 8)$$，选项 C 正确。
观察数据，$$x$$ 增加时 $$y$$ 也增加，故 $$\hat{b} > 0$$，选项 A 和 B 正确。
回归方程为 $$\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$$，代入样本中心点：
$$8 = \hat{b} \times 4 + \hat{a}$$
由于 $$\hat{b}$$ 为正且 $$8 = 4\hat{b} + \hat{a}$$，若 $$\hat{a} < 0$$，则 $$\hat{b} > 2$$，但无法直接确定 $$\hat{a}$$ 的符号，选项 D 不一定正确。
答案：D
7. 解析：
选项 A 正确，回归直线必过样本中心点 $$(\overline{x}, \overline{y})$$。
选项 B 错误，相关系数 $$r$$ 是衡量线性相关性的指标，与斜率无关。
选项 C 正确，相关系数的取值范围为 $$[-1, 1]$$。
选项 D 正确，分布在回归直线两侧的样本点个数不一定相同。
答案：B
8. 解析：
① 正确，残差可用于判断模型拟合效果。
② 错误，回归方程 $$\hat{y} = 3 - 5x$$ 表示 $$x$$ 增加一个单位时，$$y$$ 平均减少 $$5$$ 个单位。
③ 正确，线性回归方程必过样本中心点。
④ 正确，$$k^2 = 13.079 > 10.828$$，有 $$99\%$$ 的把握确认两变量相关。
错误的个数为 $$1$$（仅②错误）。
答案：B
9. 解析：
计算样本中心点：
$$\overline{x} = \frac{17 + 14 + 10 + (-1)}{4} = \frac{40}{4} = 10$$
$$\overline{y} = \frac{24 + 34 + 38 + 64}{4} = \frac{160}{4} = 40$$
将 $$(10, 40)$$ 代入回归方程 $$\hat{y} = -2x + \hat{a}$$：
$$40 = -2 \times 10 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 40 + 20 = 60$$
回归方程为 $$\hat{y} = -2x + 60$$，预测 $$x = 2$$ 时的值：
$$\hat{y} = -2 \times 2 + 60 = -4 + 60 = 56$$
答案：A
10. 解析：
计算样本中心点：
$$\overline{x} = \frac{2+3+4+5+6}{5} = 4$$
$$\overline{y} = \frac{1.5 + 4.5 + 5.5 + 6.5 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$$
将 $$(4, 5)$$ 代入回归方程 $$\hat{y} = 1.3x + \hat{a}$$：
$$5 = 1.3 \times 4 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 5 - 5.2 = -0.2$$
回归方程为 $$\hat{y} = 1.3x - 0.2$$，预测 $$x = 8$$ 时的值：
$$\hat{y} = 1.3 \times 8 - 0.2 = 10.4 - 0.2 = 10.2$$
答案：C