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正确率60.0%复数$${{z}{=}{{a}^{2}}{−}{{b}^{2}}{+}{(}{a}{+}{|}{a}{|}{)}{i}{(}{a}{，}{b}{∈}{R}{)}}$$为纯虚数的充要条件是（）
D
A.$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}}$$
B.$${{a}{<}{0}}$$且$${{a}{=}{−}{b}}$$
C.$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{b}}$$
D.$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{=}{±}{b}}$$
2、['复数的分类'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若复数$${{z}{=}{3}{−}{4}{{s}{i}{n}^{2}}{θ}{+}{(}{1}{+}{2}{c}{o}{s}{θ}{)}{i}}$$为纯虚数，$${{θ}{∈}{(}{0}{，}{π}{)}{，}}$$则$${{θ}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
3、['复数的分类'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的有关概念'， '复数的模'， '共轭复数']正确率60.0%已知下列$${{4}}$$个命题：
$${①}$$若复数$${{z}_{1}{，}{{z}_{2}}}$$的模相等，则$${{z}_{1}{，}{{z}_{2}}}$$是共轭复数
$${②{{z}_{1}}{，}{{z}_{2}}}$$都是复数，若$${{z}_{1}{+}{{z}_{2}}}$$是虚数，则$${{z}_{1}}$$不是$${{z}_{2}}$$的共轭复数
$${③}$$复数$${{z}}$$是实数的充要条件是$${{z}{=}{{z}^{−}}{．}{（}{{z}^{−}}}$$是$${{z}}$$的共轭复数$${）}$$．
$${④}$$已知复数$${{z}_{1}{=}{−}{1}{+}{2}{i}{，}{{z}_{2}}{=}{1}{−}{i}{，}{{z}_{3}}{=}{3}{−}{2}{i}{（}{i}}$$是虚数单位$${）}$$，它们对应的点分别为$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B} \ ( \ x， \ y \in{\bf R} )$$则$${{x}{+}{y}{=}{1}}$$．
则其中正确命题的个数为（）
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
4、['复数的分类'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{a}{∈}{R}{，}{i}}$$为虚数单位，若$$\frac{a-\mathrm{i}} {3+\mathrm{i}}$$为实数，则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{3}}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
5、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$$z=\frac{a-2 \mathrm{i}} {1-\mathrm{i}} ( a \in{\bf R} )$$是纯虚数，则$${{1}{+}{a}{i}}$$的虚部为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{i}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{2}{i}}$$
6、['复数的分类'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}_{1}{=}{1}{+}{a}{i}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$，$${{z}_{2}{=}{1}{+}{2}{i}}$$，若$$\frac{z_{1}} {z_{2}}$$为纯虚数，则$${{a}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['复数的分类'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%在复平面内，复数$${{z}}$$与$$\frac{2} {1-i}$$对应的点关于实轴对称，则$${{z}}$$等于（）
D
A.$${{1}{+}{i}}$$
B.$${{−}{1}{−}{i}}$$
C.$${{−}{1}{+}{i}}$$
D.$${{1}{−}{i}}$$
8、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的加法及其几何意义']正确率60.0%复数$${{z}_{1}{=}{{a}^{2}}{−}{2}{−}{3}{a}{i}{，}{{z}_{2}}{=}{a}{+}{（}{{a}^{2}}{+}{2}{）}{i}}$$，若$${{z}_{1}{+}{{z}_{2}}}$$是纯虚数，那么实数$${{a}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{1}}$$或$${{−}{2}}$$
9、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的乘法']正确率60.0%已知$${{a}{∈}{R}{，}{i}}$$为虚数单位，若$${（{1}{+}{i}{）}{（}{1}{+}{a}{i}{）}}$$是纯虚数，则$${{a}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['复数的分类'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率60.0%若复数$${{z}}$$在复平面内对应的点为$${{(}{a}{，}{2}{)}}$$，且$$\frac{1+\mathrm{i}} {z}$$为纯虚数，则实数$${{a}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
1. 复数$${z = a^2 - b^2 + (a + |a|)i}$$为纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0。
实部$${a^2 - b^2 = 0}$$，即$${a = \pm b}$$。
虚部$${a + |a| \neq 0}$$，当$${a \geq 0}$$时，$${a + |a| = 2a \neq 0}$$，即$${a > 0}$$；当$${a < 0}$$时，$${a + |a| = 0}$$，不满足。
综上，$${a > 0}$$且$${a = \pm b}$$，故选D。
2. 复数$${z = 3 - 4\sin^2\theta + (1 + 2\cos\theta)i}$$为纯虚数，需实部为0且虚部不为0。
实部$${3 - 4\sin^2\theta = 0}$$，即$${\sin^2\theta = \frac{3}{4}}$$，$${\sin\theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}$$。
虚部$${1 + 2\cos\theta \neq 0}$$，即$${\cos\theta \neq -\frac{1}{2}}$$。
在$${(0, \pi)}$$内，$${\theta = \frac{\pi}{3}}$$或$${\frac{2\pi}{3}}$$，但$${\theta = \frac{2\pi}{3}}$$时$${\cos\theta = -\frac{1}{2}}$$不满足，故$${\theta = \frac{\pi}{3}}$$，选B。
3. 分析四个命题：
① 模相等不一定共轭，错误；
② 若$${z_1}$$是$${z_2}$$的共轭复数，则$${z_1 + z_2}$$为实数，故$${z_1 + z_2}$$为虚数时$${z_1}$$不是$${z_2}$$的共轭复数，正确；
③ 复数$${z}$$是实数的充要条件是$${z = \overline{z}}$$，正确；
④ 由向量关系$${\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}}$$，解得$${x = 1}$$，$${y = 2}$$，$${x + y = 3}$$，错误。
综上，正确命题有2个，选B。
4. 化简$${\frac{a - i}{3 + i}}$$为实数：
分子分母同乘$${3 - i}$$，得$${\frac{(a - i)(3 - i)}{10} = \frac{3a - 1 - (a + 3)i}{10}}$$。
虚部为0，即$${a + 3 = 0}$$，$${a = -3}$$，选A。
5. 复数$${z = \frac{a - 2i}{1 - i}}$$为纯虚数：
化简得$${z = \frac{(a - 2i)(1 + i)}{2} = \frac{a + 2 + (a - 2)i}{2}}$$。
实部为0，即$${a + 2 = 0}$$，$${a = -2}$$；虚部不为0，即$${a - 2 \neq 0}$$，满足。
$${1 + ai = 1 - 2i}$$，虚部为$${-2}$$，选C。
6. $${\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + ai}{1 + 2i}}$$为纯虚数：
化简得$${\frac{(1 + ai)(1 - 2i)}{5} = \frac{1 + 2a + (a - 2)i}{5}}$$。
实部为0，即$${1 + 2a = 0}$$，$${a = -\frac{1}{2}}$$；虚部不为0，即$${a - 2 \neq 0}$$，满足。
选C。
7. 复数$${\frac{2}{1 - i}}$$对应的点为$${(1, 1)}$$，关于实轴对称的点为$${(1, -1)}$$，对应复数$${z = 1 - i}$$，选D。
8. $${z_1 + z_2 = (a^2 - 2 + a) + (-3a + a^2 + 2)i}$$为纯虚数：
实部为0，即$${a^2 + a - 2 = 0}$$，解得$${a = 1}$$或$${a = -2}$$。
虚部不为0，代入$${a = 1}$$得$${-3 + 3 = 0}$$不满足；$${a = -2}$$得$${6 + 6 = 12 \neq 0}$$，满足。
选C。
9. 化简$${(1 + i)(1 + ai) = 1 - a + (1 + a)i}$$为纯虚数：
实部为0，即$${1 - a = 0}$$，$${a = 1}$$；虚部不为0，即$${1 + a \neq 0}$$，满足。
选C。
10. 复数$${z = a + 2i}$$，$${\frac{1 + i}{z} = \frac{(1 + i)(a - 2i)}{a^2 + 4} = \frac{a + 2 + (a - 2)i}{a^2 + 4}}$$为纯虚数：
实部为0，即$${a + 2 = 0}$$，$${a = -2}$$；虚部不为0，即$${a - 2 \neq 0}$$，满足。
选A。