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正确率80.0%已知实数$${{m}{，}{n}}$$满足$$\frac{m} {1+i}=1-n i ($$其中$${{i}}$$是虚数单位$${{)}}$$，则双曲线$$m x^{2}-n y^{2}=1$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法']正确率60.0%已知$$x， y \in\mathbf{R}， \mathrm{i}$$是虚数单位，且$$\left( 2 x+\mathrm{i} \right) ( 1-\mathrm{i} )=y$$，则$${{y}}$$的值为（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
3、['复数的模'， '复数的有关概念'， '复数相等的条件及应用']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，若$$i \ ( \mathbf{\Pi}-1+a i ) \mathbf{\Pi}=1-i$$，则$$| 3+a i |=\langle($$）
B
A.$${{4}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
4、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法']正确率60.0%复数$$( 1+i ) i=a+i$$，则实数$${{a}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['复数的模'， '复数相等的条件及应用']正确率80.0%设$$( \ 1+i ) \， \ x=1+y i， \ x， \ y \in R$$，则$$| x+y i |=\langle($$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['复数的模'， '复数相等的条件及应用']正确率60.0%已知$$x， \， \， y \in R， \， \， i$$为虚数单位，若$$1+x i=~ ( 2-y ) ~-3 i$$，则$$| x+y i |=\langle($$）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
7、['复数的模'， '复数相等的条件及应用']正确率60.0%设$$\left( 1 \!+\! i \right) x \!=\! 1 \!+\! y i，$$其中$${{x}{，}{y}}$$为实数，则$$| x+y i |=$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['复数的有关概念'， '复数相等的条件及应用'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，且$$m \left( 1+i \right)=7+n i ( m， n \in\mathbf{R} )$$，则$$\frac{m+n i} {2 m-n i}$$的虚部等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {7}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{3} {1 4}$$
9、['复数相等的条件及应用'， '复数的四则运算综合应用']正确率40.0%已知$$a， \， \， b \in R$$，且$$2+a i， ~ b+i ( i )$$是虚数单位)是实系数一元二次方程$$x^{2}+p x+q=0$$的两个根，那么$${{p}{，}{q}}$$的值分别是（）
B
A.$${{−}{4}{，}{3}}$$
B.$${{−}{4}{，}{5}}$$
C.$${{4}{，}{3}}$$
D.$${{4}{，}{5}}$$
10、['负分数指数幂'， '复数相等的条件及应用'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，若$$\frac{1} {1+\mathrm{i}}=a+b \mathrm{i} ( a， b \in\mathbf{R} )$$，则$${{a}^{b}{=}}$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{2}}$$
1. 首先解复数方程 $$\frac{m}{1+i} = 1 - n i$$。将分母有理化：
$$\frac{m(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{m(1-i)}{2} = 1 - n i$$
比较实部和虚部得到：
$$\frac{m}{2} = 1$$ 和 $$-\frac{m}{2} = -n$$
解得 $$m = 2$$，$$n = 1$$。代入双曲线方程 $$2x^2 - y^2 = 1$$，其标准形式为 $$\frac{x^2}{\frac{1}{2}} - \frac{y^2}{1} = 1$$。
离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3}$$。
正确答案：$$A$$。
2. 展开复数方程 $$(2x + i)(1 - i) = y$$：
$$2x(1) + 2x(-i) + i(1) + i(-i) = 2x - 2x i + i + 1 = (2x + 1) + (-2x + 1)i = y$$
因为 $$y$$ 为实数，虚部为零：
$$-2x + 1 = 0$$，解得 $$x = \frac{1}{2}$$。
代入实部得 $$y = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2$$。
正确答案：$$D$$。
3. 解复数方程 $$i(\pi - 1 + a i) = 1 - i$$：
展开得 $$i\pi - i + a i^2 = \pi i - i - a = 1 - i$$。
比较实部和虚部：
$$-a = 1$$ 和 $$\pi - 1 = -1$$。
解得 $$a = -1$$。
计算模长 $$|3 + a i| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$。
正确答案：$$B$$。
4. 展开复数方程 $$(1 + i)i = a + i$$：
$$i + i^2 = i - 1 = a + i$$。
比较实部得 $$a = -1$$。
正确答案：$$B$$。
5. 解复数方程 $$(1 + i)x = 1 + y i$$：
展开得 $$x + x i = 1 + y i$$。
比较实部和虚部：
$$x = 1$$ 和 $$x = y$$，即 $$y = 1$$。
模长 $$|x + y i| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。
正确答案：$$B$$。
6. 解复数方程 $$1 + x i = (2 - y) - 3i$$：
比较实部和虚部：
$$1 = 2 - y$$ 和 $$x = -3$$。
解得 $$y = 1$$，$$x = -3$$。
模长 $$|x + y i| = |-3 + i| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$。
正确答案：$$D$$。
7. 同第5题，解得 $$x = 1$$，$$y = 1$$。
模长 $$|x + y i| = \sqrt{2}$$。
正确答案：$$B$$。
8. 解复数方程 $$m(1 + i) = 7 + n i$$：
比较实部和虚部：
$$m = 7$$ 和 $$m = n$$，即 $$n = 7$$。
计算复数 $$\frac{m + n i}{2m - n i} = \frac{7 + 7i}{14 - 7i}$$。
有理化分母：
$$\frac{(7 + 7i)(14 + 7i)}{(14)^2 + (7)^2} = \frac{98 + 49i + 98i + 49i^2}{245} = \frac{49 + 147i}{245} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$$。
虚部为 $$\frac{3}{5}$$。
正确答案：$$B$$。
9. 实系数方程的复数根必须共轭成对，故 $$2 + a i$$ 和 $$b + i$$ 为共轭复数。
因此 $$b = 2$$，$$a = -1$$。
由韦达定理：
$$p = -[(2 + a i) + (b + i)] = -[4 + (a + 1)i]$$，但实部为 $$-4$$。
$$q = (2 + a i)(b + i) = (2 - i)(2 + i) = 4 - i^2 = 5$$。
正确答案：$$B$$。
10. 有理化复数 $$\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$。
比较 $$a + b i$$ 得 $$a = \frac{1}{2}$$，$$b = -\frac{1}{2}$$。
计算 $$a^b = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$$。
正确答案：$$B$$。