复数的分类-7.1 复数的概念知识点月考基础选择题自测题解析-重庆市等高二数学必修,平均正确率64.0%

1、['复数的分类'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%若复数$$z=3-4 \operatorname{s i n}^{2} \theta+~ ( 1+2 \operatorname{c o s} \theta) ~ i$$为纯虚数，$$\theta\in~ ( 0， ~ \pi)$$，则$${{θ}{=}{（}}$$）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$

2、['复数的分类'， '复数的乘法']

正确率60.0%设$${{a}{∈}{R}{，}}$$若复数$$( 2+a \mathrm{i} ) ( a-\mathrm{i} )$$是纯虚数$${{(}{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$，则$${{a}{=}}$$（）

A.$${{0}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{±}{\sqrt {2}}}$$

3、['复数的分类']

正确率80.0%若复数$$z=( m^{2}-5 m+6 )+( m^{2}-3 m ) \mathrm{i}$$是纯虚数，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$或$${{3}}$$

D.$${{0}}$$或$${{3}}$$

4、['复数的分类'， '复数的除法']

正确率60.0%已知复数$$z=\frac{( 2+a \mathrm{i} ) \mathrm{i}} {1+\mathrm{i}}$$是纯虚数，其中$${{a}}$$是实数，则$${{z}}$$等于（）

A.$${{2}{i}}$$

B.$${{−}{2}{i}}$$

C.$${{i}}$$

D.$${{−}{i}}$$

5、['复数的分类'， '复平面内的点、复数及平面向量']

正确率60.0%已知复数$${{z}}$$在复平面上对应的点为$$( 1， \ m )，$$若$${{i}{z}}$$为纯虚数，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$

6、['复数的分类']

正确率80.0%设$${{m}{∈}{R}{，}}$$复数$$z=( 2 m^{2}+m-1 )+(-m^{2}+2 m+3 ) \mathrm{i}.$$若$${{z}}$$为纯虚数，则$${{m}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$或$${{−}{1}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$或$${{1}}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

7、['复数的分类'， '共轭复数'， '复数的乘法']

正确率60.0%已知$${{m}{∈}{R}{，}}$$复数$$z_{1}=1+3 \mathrm{i}， \， \， \， z_{2}=m+2 \mathrm{i}，$$且$$z_{1} \cdot\overline{{z}}_{2}$$为实数，则$${{m}{=}}$$（）

A.$$- \frac2 3$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{−}{3}}$$

8、['复数的分类']

正确率60.0%已知复数$$z=m^{2}-3 m+m i \ ( \ m \in R )$$为纯虚数，则$${{m}{=}{（}}$$）

A.$${{0}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{0}}$$或$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%若$$\left( 1-m i \right) ( m+i ) < 0，$$其中$${{i}}$$为虚数单位，则$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{−}{4}}$$

10、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%若复数$$2 \mathrm{i}-\frac{a \mathrm{i}} {1-\mathrm{i}}$$是实数，则实数$${{a}}$$的值为（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

1. 复数$$z=3-4 \sin^{2} \theta + (1+2 \cos \theta)i$$为纯虚数，则实部为0且虚部不为0：

$$3-4 \sin^{2} \theta = 0 \Rightarrow \sin^{2} \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 由于$$\theta \in (0, \pi)$$，故$$\theta = \frac{\pi}{3}$$或$$\frac{2\pi}{3}$$。验证虚部$$1+2 \cos \theta \neq 0$$： - 当$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，$$1+2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \neq 0$$； - 当$$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，$$1+2 \cos \frac{2\pi}{3} = 0$$（舍去）。因此$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选B。

2. 复数$$(2+a i)(a-i)$$为纯虚数，展开后实部为0且虚部不为0：

$$(2a + a) + (a^{2} - 2)i$$ 实部$$3a = 0 \Rightarrow a = 0$$；虚部$$a^{2} - 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm \sqrt{2}$$。但若$$a = 0$$，虚部为$$-2 \neq 0$$，符合条件。选A。

3. 复数$$z=(m^{2}-5m+6)+(m^{2}-3m)i$$为纯虚数，则实部为0且虚部不为0：

$$m^{2}-5m+6 = 0 \Rightarrow m = 2$$或$$3$$；虚部$$m^{2}-3m \neq 0 \Rightarrow m \neq 0$$且$$m \neq 3$$。因此$$m = 2$$，选A。

4. 复数$$z=\frac{(2+a i)i}{1+i}$$为纯虚数，化简后：

$$z = \frac{2i - a}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{(2i - a)(1 - i)}{2} = \frac{(2 - a) + (a + 2)i}{2}$$ 实部$$\frac{2 - a}{2} = 0 \Rightarrow a = 2$$；虚部$$\frac{a + 2}{2} \neq 0 \Rightarrow a \neq -2$$。此时$$z = \frac{4i}{2} = 2i$$，选A。

5. 复数$$z = 1 + m i$$，$$i z = i - m$$为纯虚数，则实部为0且虚部不为0：

$$-m = 0 \Rightarrow m = 0$$；虚部$$1 \neq 0$$恒成立。选B。

6. 复数$$z=(2m^{2}+m-1)+(-m^{2}+2m+3)i$$为纯虚数，则实部为0且虚部不为0：

$$2m^{2}+m-1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$$或$$-1$$；虚部$$-m^{2}+2m+3 \neq 0$$： - 当$$m = \frac{1}{2}$$，虚部$$\neq 0$$； - 当$$m = -1$$，虚部$$= 0$$（舍去）。因此$$m = \frac{1}{2}$$，选B。

7. $$z_{1} \cdot \overline{z}_{2} = (1+3i)(m-2i) = m + 6 + (3m - 2)i$$为实数，则虚部为0：

$$3m - 2 = 0 \Rightarrow m = \frac{2}{3}$$，选B。

8. 复数$$z = m^{2} - 3m + m i$$为纯虚数，则实部为0且虚部不为0：

$$m^{2} - 3m = 0 \Rightarrow m = 0$$或$$3$$；虚部$$m \neq 0$$，故$$m = 3$$，选B。

9. 不等式$$\left(1 - m i\right)(m + i) < 0$$展开后：

$$m + i - m^{2}i + m = 2m + (1 - m^{2})i$$。复数小于0无意义，题目可能有误。假设为实部小于0： $$2m < 0 \Rightarrow m < 0$$，但无法确定具体值。题目可能缺失条件。

10. 复数$$2i - \frac{a i}{1 - i}$$为实数，化简虚部为0：

$$\frac{a i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{a i (1 + i)}{2} = \frac{-a + a i}{2}$$ 因此$$2i - \left(\frac{-a}{2} + \frac{a i}{2}\right) = \frac{a}{2} + \left(2 - \frac{a}{2}\right)i$$为实数： $$2 - \frac{a}{2} = 0 \Rightarrow a = 4$$，选D。

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