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正确率60.0%若复数$$z=x+y \mathrm{i} ( x， ~ ~ y \in{\bf R} )$$满足条件$$| z-4 \mathrm{i} |=| z+2 |，$$则$${{2}^{x}{+}{{4}^{y}}}$$的最小值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{6}}$$
2、['复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$$z=\frac{2 \mathrm{i}} {1+\mathrm{i}}，$$其中$${{i}}$$为虚数单位，则$${{|}{z}{|}{=}}$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
3、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%设复数$${{z}}$$满足$$z ( \sqrt{3}-\mathrm{i} )=( 1+\mathrm{i} )^{2}，$$则$${{|}{z}{|}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
4、['复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$${{z}}$$满足$$( 2-\mathrm{i} ) z=1+\mathrm{i}，$$那么$${{|}{z}{|}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{\sqrt{2}} {5}$$
B.$$\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
5、['复数的模']正确率80.0%已知$$( 3+2 i ) \， \， \， x=2-y i$$，其中$${{x}{，}{y}}$$是实数，则$$| x+y i |=\langle($$）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
6、['复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若复数$$z=\frac{4-2 i} {1+i} ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，则$$| z |=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
7、['复数的模']正确率60.0%复数$$Z=3-4 i$$，则$${{|}{Z}{|}}$$等于（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
8、['复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%设复数$$z=1+2 i$$，则$$\frac{z^{2}} {\left\vert z^{2} \right\vert}=($$）
B
A.$$\frac{3} {5}-\frac{4} {5} i$$
B.$$- \frac{3} {5}+\frac{4} {5} i$$
C.$$1+\frac{4} {5} i$$
D.$${{1}}$$
9、['复数的有关概念'， '复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$$( 1-\mathrm{i} ) z=| 1+\mathrm{i} |，$$则$${{z}}$$的虚部是（）
D
A.$${{i}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2} \i$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
10、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模']正确率60.0%已知复数$$z=a+\sqrt{3} \mathrm{i} ( a \in{\bf R} )$$在复平面内对应的点位于第二象限，且$$| z |=2，$$则复数$${{z}}$$等于（）
A
A.$$- 1+\sqrt{3} \mathrm{i}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$
C.$$- 1+\sqrt{3} \mathrm{i}$$或$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$
D.$$- 2+\sqrt{3} \mathrm{i}$$
1. 复数 $$z = x + y\mathrm{i}$$ 满足 $$|z - 4\mathrm{i}| = |z + 2|$$。代入复数模的定义，得到：
$$\sqrt{x^2 + (y - 4)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$$
两边平方后化简：
$$x^2 + (y - 4)^2 = (x + 2)^2 + y^2$$
展开并消去相同项：
$$x^2 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + 4x + 4 + y^2$$
进一步化简得到直线方程：
$$-8y + 16 = 4x + 4$$
即 $$x + 2y = 3$$。
要求 $$2^x + 4^y = 2^x + 2^{2y}$$ 的最小值。设 $$t = 2^x$$，$$s = 2^{2y}$$，则 $$t + s$$ 的最小值在 $$x + 2y = 3$$ 的约束下求解。由不等式 $$t + s \geq 2\sqrt{ts}$$ 和 $$ts = 2^{x + 2y} = 2^3 = 8$$，得最小值为 $$4\sqrt{2}$$。但更简单的方法是直接代入 $$x = 1$$，$$y = 1$$，满足 $$x + 2y = 3$$，此时 $$2^1 + 4^1 = 6$$ 不成立。实际上，最小值在 $$x = 3 - 2y$$ 时，$$2^{3 - 2y} + 4^y = \frac{8}{4^y} + 4^y$$。设 $$k = 4^y$$，则表达式为 $$\frac{8}{k} + k$$，求导得极值点为 $$k = 2\sqrt{2}$$，此时最小值为 $$4\sqrt{2}$$。因此答案为 C。
2. 复数 $$z = \frac{2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}$$。先化简分母：
$$z = \frac{2\mathrm{i}(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} = \frac{2\mathrm{i} - 2\mathrm{i}^2}{1 - \mathrm{i}^2} = \frac{2\mathrm{i} + 2}{2} = 1 + \mathrm{i}$$
模为 $$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。答案为 B。
3. 复数 $$z$$ 满足 $$z(\sqrt{3} - \mathrm{i}) = (1 + \mathrm{i})^2$$。先计算右边：
$$(1 + \mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 2\mathrm{i}$$
因此 $$z = \frac{2\mathrm{i}}{\sqrt{3} - \mathrm{i}}$$。计算模：
$$|z| = \frac{|2\mathrm{i}|}{|\sqrt{3} - \mathrm{i}|} = \frac{2}{\sqrt{3 + 1}} = 1$$。答案为 D。
4. 复数 $$z$$ 满足 $$(2 - \mathrm{i})z = 1 + \mathrm{i}$$。解方程得：
$$z = \frac{1 + \mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}}$$
计算模：
$$|z| = \frac{|1 + \mathrm{i}|}{|2 - \mathrm{i}|} = \frac{\sqrt{1 + 1}}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$。答案为 D。
5. 复数方程 $$(3 + 2\mathrm{i})x = 2 - y\mathrm{i}$$，其中 $$x, y$$ 为实数。展开得：
$$3x + 2x\mathrm{i} = 2 - y\mathrm{i}$$
比较实部和虚部：
$$3x = 2$$ 和 $$2x = -y$$，解得 $$x = \frac{2}{3}$$，$$y = -\frac{4}{3}$$。
因此 $$|x + y\mathrm{i}| = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$。答案为 B。
6. 复数 $$z = \frac{4 - 2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}$$。计算模：
$$|z| = \frac{|4 - 2\mathrm{i}|}{|1 + \mathrm{i}|} = \frac{\sqrt{16 + 4}}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{2}} = \sqrt{10}$$。答案为 D。
7. 复数 $$Z = 3 - 4\mathrm{i}$$ 的模为：
$$|Z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$$。答案为 C。
8. 复数 $$z = 1 + 2\mathrm{i}$$，计算 $$\frac{z^2}{|z^2|}}$$：
$$z^2 = (1 + 2\mathrm{i})^2 = 1 + 4\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2 = -3 + 4\mathrm{i}$$
$$|z^2| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$$
因此 $$\frac{z^2}{|z^2|} = \frac{-3 + 4\mathrm{i}}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\mathrm{i}$$。答案为 B。
9. 复数 $$z$$ 满足 $$(1 - \mathrm{i})z = |1 + \mathrm{i}|$$。计算右边：
$$|1 + \mathrm{i}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$
因此 $$z = \frac{\sqrt{2}}{1 - \mathrm{i}}$$。化简：
$$z = \frac{\sqrt{2}(1 + \mathrm{i})}{(1 - \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})} = \frac{\sqrt{2}(1 + \mathrm{i})}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}$$
虚部为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为 D。
10. 复数 $$z = a + \sqrt{3}\mathrm{i}$$ 在第二象限且 $$|z| = 2$$。由模的条件：
$$\sqrt{a^2 + 3} = 2$$，解得 $$a^2 = 1$$，即 $$a = \pm 1$$。
由于 $$z$$ 在第二象限，实部 $$a < 0$$，故 $$a = -1$$，因此 $$z = -1 + \sqrt{3}\mathrm{i}$$。答案为 A。