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正确率60.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$在复平面内对应的复数分别为$$- 1+3 \mathrm{i}， ~ 4-2 \mathrm{i}，$$则向量$$\overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$的模为 （）
B
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
2、['复数的模'， '复数的四则运算'， '复数相等的条件及应用']正确率80.0%若虚数单位$${{i}}$$是关于$${{x}}$$的方程$$a x^{3}+b x^{2}+b x+1=0 ( a， b \in R )$$的一个根，则$$| a+b i |=( \textit{} {} )$$
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
3、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$$( 1-2 \mathrm{i} ) z=-2-\mathrm{i}，$$则$$| z+1-\mathrm{i} |=$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
4、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复数$${{z}_{1}}$$对应复平面上的点$$( \ -1， \ 1 )$$，复数$${{z}_{2}}$$满足$$z_{1} z_{2}=-2$$，则$$| z_{2}+2 i |=($$）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%$$| \frac{3+i} {1+i} |=\langle$$）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
6、['复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复$$z={\frac{-1-2 i} {\left( 1+i \right)^{2}}}$$，则$$| z |=~ ($$）
C
A.$$\frac{\sqrt{5}} {4}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.svg异常
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
7、['复数的有关概念'， '复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，$${{a}{∈}{R}}$$，若$$\frac{2-i} {a+i}$$为纯虚数，则复数$$z=4 a+\sqrt{2} i$$的模等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${\sqrt {{1}{1}}}$$
8、['复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$\left( 1+\sqrt{3} \mathrm{i} \right)^{2}=\frac{1+\mathrm{i}} {z}$$，则$${{|}{z}{|}}$$为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {1 6}$$
9、['复数的模'， '复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复数$$z_{1}=2+a i ( a \in R )， \; z_{2}=1-2 i，$$是虚数单位，若$$\frac{z_{1}} {z_{2}}$$为纯虚数，则$$| z_{1} |=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
10、['复数的模']正确率80.0%设复数$${{z}}$$满足$$| z-3-4 i |=1$$，则$${{|}{z}{|}}$$的最大值是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
1. 向量$$\overrightarrow{a}$$对应的复数为$$-1+3i$$，$$\overrightarrow{b}$$对应的复数为$$4-2i$$。计算$$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$对应的复数： $$-1+3i + \frac{1}{2}(4-2i) = -1+3i + 2 - i = 1 + 2i$$ 模为： $$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$ 答案为 **B**。
2. 将$$x=i$$代入方程： $$a i^3 + b i^2 + b i + 1 = -a i - b + b i + 1 = 0$$ 实部和虚部分别为零： $$-b + 1 = 0 \Rightarrow b=1$$ $$-a + b = 0 \Rightarrow a=1$$ 因此$$|a+bi| = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ 答案为 **C**。
3. 解方程$$(1-2i)z = -2-i$$： $$z = \frac{-2-i}{1-2i} = \frac{(-2-i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{-2-4i-i-2i^2}{1+4} = \frac{-2-5i+2}{5} = -i$$ 计算$$|z+1-i| = |-i + 1 - i| = |1-2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$$ 答案为 **D**。
4. $$z_1 = -1 + i$$，由$$z_1 z_2 = -2$$得： $$z_2 = \frac{-2}{-1+i} = \frac{-2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{2+2i}{1+1} = 1 + i$$ 计算$$|z_2 + 2i| = |1 + i + 2i| = |1 + 3i| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$ 答案为 **C**。
5. 计算模： $$\left|\frac{3+i}{1+i}\right| = \frac{|3+i|}{|1+i|} = \frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$$ 答案为 **A**。
6. 计算$$z = \frac{-1-2i}{(1+i)^2} = \frac{-1-2i}{2i}$$： $$z = \frac{(-1-2i)(-i)}{2i(-i)} = \frac{i - 2}{2} = -1 + \frac{1}{2}i$$ 模为： $$\sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ 题目选项可能有误，但最接近的是 **A**。
7. 设$$\frac{2-i}{a+i} = ki$$（纯虚数）： $$2 - i = ki(a + i) = kai - k$$ 实部和虚部分别相等： $$2 = -k \Rightarrow k = -2$$ $$-1 = ka \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$ 因此$$z = 4a + \sqrt{2}i = 2 + \sqrt{2}i$$，模为： $$\sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}$$ 答案为 **C**。
8. 解方程： $$\left(1+\sqrt{3}i\right)^2 = \frac{1+i}{z}$$ $$1 + 2\sqrt{3}i - 3 = \frac{1+i}{z}$$ $$-2 + 2\sqrt{3}i = \frac{1+i}{z}$$ $$z = \frac{1+i}{-2 + 2\sqrt{3}i}$$ 计算模： $$|z| = \frac{|1+i|}{|-2 + 2\sqrt{3}i|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4 + 12}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ 答案为 **C**。
9. $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2+ai}{1-2i} = \frac{(2+ai)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{2 + 4i + ai - 2a}{5}$$ 纯虚数条件为实部为零： $$2 - 2a = 0 \Rightarrow a=1$$ 因此$$z_1 = 2 + i$$，模为： $$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$ 答案为 **D**。
10. $$|z-3-4i|=1$$表示复数$$z$$在以$$(3,4)$$为圆心、半径为1的圆上。$$|z|$$的最大值为圆心到原点的距离加上半径： $$\sqrt{3^2 + 4^2} + 1 = 5 + 1 = 6$$ 答案为 **D**。
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