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正确率60.0%已知复数$${{z}{，}}$$则“$$z^{2}=-z$$”是“$${{z}}$$为实数”的（）
B
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%设复数$${{z}}$$满足$$\left\{\begin{matrix} {( 1+2 \mathrm{i} ) z+( 1-2 \mathrm{i} ) \overline{{z}}=4} \\ {( 1-2 \mathrm{i} ) z+( 1+2 \mathrm{i} ) \overline{{z}}=6} \\ \end{matrix} \right.$$，则$${{z}}$$的虚部为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$- \frac{\mathrm{i}} {4}$$
3、['复数的有关概念'， '复数的乘法']正确率80.0%已知复数$$z=( 2+\mathrm{i} )^{2}，$$则$${{z}}$$的虚部为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{3}{i}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{i}}$$
4、['复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$的满足$$z ( 1+2 \mathrm{i} )=-3+4 \mathrm{i} ( \mathrm{i}$$是虚数单位$${{)}}$$，则复数$${{z}}$$的实部是（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{i}}$$
D.$${{−}{2}{i}}$$
5、['复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$$z=\frac{a} {2-i}+\frac{2-i} {5}$$的实部与虚部和为$${{2}}$$，则实数$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['复数的有关概念']正确率60.0%已知复数$$z=~ ( \ m^{2}-1 ) ~-~ ( \ m+1 ) ~ i$$，其中$${{m}{∈}{R}}$$．若$${{z}}$$是纯虚数，则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{0}}$$
7、['复数的模'， '复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率40.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，若复数$$z=\frac{1-a i} {1+i} ( a \in R )$$的实部为$${{−}{2}}$$，则$$| z |=~ ($$）
C
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${{1}{3}}$$
8、['复数的有关概念'， '复数相等的条件及应用'， '复数的四则运算综合应用'， '函数求定义域']正确率60.0%设$${{i}}$$为虚数单位，若复数$$Z=\frac{a} {1-i}+i ( a \in R )$$的实部与虚部的和为$$\frac{3} {4}，$$则$$f ( x )=( x-1 )^{a}+\frac{3} {x-2}$$定义域为（）
A
A.$$( 1， 2 ) \cup( 2，+\infty)$$
B.$$[ 1， 2 ) \cup( 2，+\infty)$$
C.$$( 1，+\infty)$$
D.$$( 1， 2 )$$
9、['复数的有关概念'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%设$${{i}}$$是虚数单位，复数$$z=\frac{{\sqrt{3}}+a i} {1-i} ( a \in R )$$，若$${{z}}$$为纯虚数，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
10、['复数的有关概念']正确率80.0%设$${{a}}$$，$${{b}{∈}{R}}$$，则“$$\frac{a} {b}=0$$”是“复数$${{a}{+}{b}{i}}$$为纯虚数”的$${{(}{)}}$$
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
1. 设复数$$z = a + b\mathrm{i}$$（$$a, b \in \mathbb{R}$$），由$$z^2 = -z$$得： $$(a + b\mathrm{i})^2 = -a - b\mathrm{i}$$ 展开得： $$a^2 - b^2 + 2ab\mathrm{i} = -a - b\mathrm{i}$$ 比较实部和虚部： $$\begin{cases} a^2 - b^2 = -a \\ 2ab = -b \end{cases}$$ 由第二式得$$b(2a + 1) = 0$$，即$$b = 0$$或$$a = -\frac{1}{2}$$。 - 若$$b = 0$$，则$$z = a$$为实数，且代入第一式得$$a^2 = -a$$，解得$$a = 0$$或$$a = -1$$。 - 若$$a = -\frac{1}{2}$$，代入第一式得$$\frac{1}{4} - b^2 = \frac{1}{2}$$，即$$b^2 = -\frac{1}{4}$$，无实数解。 综上，$$z$$只能是实数$$0$$或$$-1$$，反之显然成立。因此是充要条件，选A。
2. 设$$z = x + y\mathrm{i}$$（$$x, y \in \mathbb{R}$$），则$$\overline{z} = x - y\mathrm{i}$$。将两个方程分别展开： $$\begin{cases} (1 + 2\mathrm{i})(x + y\mathrm{i}) + (1 - 2\mathrm{i})(x - y\mathrm{i}) = 4 \\ (1 - 2\mathrm{i})(x + y\mathrm{i}) + (1 + 2\mathrm{i})(x - y\mathrm{i}) = 6 \end{cases}$$ 化简后得到： $$\begin{cases} 2x - 4y = 4 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}$$ 解得$$x = \frac{5}{2}$$，$$y = \frac{1}{4}$$。因此虚部为$$\frac{1}{4}$$，选C。
3. 计算$$z = (2 + \mathrm{i})^2 = 4 + 4\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 3 + 4\mathrm{i}$$，虚部为$$4$$，选C。
4. 解方程$$z(1 + 2\mathrm{i}) = -3 + 4\mathrm{i}$$，得： $$z = \frac{-3 + 4\mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}} = \frac{(-3 + 4\mathrm{i})(1 - 2\mathrm{i})}{(1 + 2\mathrm{i})(1 - 2\mathrm{i})} = \frac{5 + 10\mathrm{i}}{5} = 1 + 2\mathrm{i}$$ 实部为$$1$$，选A。
5. 化简$$z = \frac{a}{2 - \mathrm{i}} + \frac{2 - \mathrm{i}}{5}$$： $$\frac{a}{2 - \mathrm{i}} = \frac{a(2 + \mathrm{i})}{(2 - \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})} = \frac{2a + a\mathrm{i}}{5}$$ 因此： $$z = \frac{2a}{5} + \frac{a\mathrm{i}}{5} + \frac{2}{5} - \frac{\mathrm{i}}{5} = \frac{2a + 2}{5} + \frac{a - 1}{5}\mathrm{i}$$ 由题意实部与虚部和为$$2$$： $$\frac{2a + 2}{5} + \frac{a - 1}{5} = 2$$ 解得$$a = 3$$，选D。
6. 纯虚数要求实部为$$0$$且虚部不为$$0$$： $$\begin{cases} m^2 - 1 = 0 \\ m + 1 \neq 0 \end{cases}$$ 解得$$m = 1$$，选A。
7. 化简$$z = \frac{1 - a\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}$$： $$z = \frac{(1 - a\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} = \frac{1 - a - \mathrm{i} - a\mathrm{i}}{2} = \frac{1 - a}{2} - \frac{1 + a}{2}\mathrm{i}$$ 由实部为$$-2$$： $$\frac{1 - a}{2} = -2$$ 解得$$a = 5$$，因此$$z = -2 - 3\mathrm{i}$$，模为$$\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$$，选C。
8. 化简$$Z = \frac{a}{1 - \mathrm{i}} + \mathrm{i}$$： $$\frac{a}{1 - \mathrm{i}} = \frac{a(1 + \mathrm{i})}{(1 - \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})} = \frac{a + a\mathrm{i}}{2}$$ 因此： $$Z = \frac{a}{2} + \left(\frac{a}{2} + 1\right)\mathrm{i}$$ 由实部与虚部和为$$\frac{3}{4}$$： $$\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + 1 = \frac{3}{4}$$ 解得$$a = -\frac{1}{4}$$。函数$$f(x) = (x - 1)^{-1/4} + \frac{3}{x - 2}$$定义域要求： $$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$$ 即$$(1, 2) \cup (2, +\infty)$$，选A。
9. 化简$$z = \frac{\sqrt{3} + a\mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}$$： $$z = \frac{(\sqrt{3} + a\mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{(1 - \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})} = \frac{\sqrt{3} - a + (\sqrt{3} + a)\mathrm{i}}{2}$$ 纯虚数要求实部为$$0$$且虚部不为$$0$$： $$\begin{cases} \sqrt{3} - a = 0 \\ \sqrt{3} + a \neq 0 \end{cases}$$ 解得$$a = \sqrt{3}$$，选B。
10. 复数$$a + b\mathrm{i}$$为纯虚数的条件是$$a = 0$$且$$b \neq 0$$。而$$\frac{a}{b} = 0$$仅说明$$a = 0$$且$$b \neq 0$$，因此是充要条件，选C。
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