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正确率60.0%欧拉公式$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\operatorname{c o s} \， \theta+\mathrm{i s i n} \， \theta( \mathrm{e}$$为自然对数的底数，$${{i}}$$为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}+\mathrm{1}=0$$被英国科学期刊《物理世界》评选为十个最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数$$\mathrm{e}^{-\frac{\pi} {6} \mathrm{i}}$$的虚部为（）
C
A.$$- \frac{1} {2} \mathrm{i}$$
B.$$\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['复数的分类'， '复数的有关概念']正确率80.0%若复数$$z=( m+2 )+( m^{2}-9 ) \mathrm{i} ( m \in{\bf R} )$$是正实数，则实数$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{±}{3}}$$
3、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '共轭复数']正确率60.0%若复数$$z=( a^{2}-3 a+2 )+( a-2 ) \mathrm{i}$$是纯虚数，则$${{z}}$$的共轭复数$${{z}{¯}{=}}$$（）
B
A.$${{−}{i}}$$
B.$${{i}}$$
C.$${{−}{2}{i}}$$
D.$${{2}{i}}$$
4、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模'， '复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则下列命题中正确的个数为（）
$$\oplus\left| z \right|=\frac{1} {2}$$$$\emptyset\ \overline{{z}}=\frac{1-\sqrt{3} i} {2}$$$${③{z}}$$的虚部为$${\frac{\sqrt3} {2}} i$$$${④{z}}$$在复平面上对应点在第一象限
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$$z=\frac{3-2 i^{2}} {1+i}$$的虚部为（）
A
A.$$- \frac{5} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%复数$${{z}}$$满足$$\bar{z} ( 1+i )=2 i ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，则复数$${{z}{=}{（}}$$）
A
A.$${{1}{−}{i}}$$
B.$${{1}{+}{2}{i}}$$
C.$${{1}{+}{i}}$$
D.$${{2}{−}{2}{i}}$$
7、['复数的有关概念'， '复数相等的条件及应用'， '复数的乘法']正确率60.0%已知$$( 1+\mathrm{i} ) \mathrm{i}=a+b \mathrm{i} ( a， b \in\mathbf{R} )$$，其中$${{i}}$$为虚数单位，则$${{a}{+}{b}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，则复数$$z=\frac{4+3 \mathrm{i}} {3-4 \mathrm{i}}$$的共轭复数的虚部是（）
D
A.$${{−}{i}}$$
B.$${{i}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
9、['复数的有关概念']正确率80.0%设$${{a}}$$，$${{b}{∈}}$$ $${{R}}$$，则“$$\frac{a} {b}=0$$”是“复数$${{a}{+}{b}{i}}$$为纯虚数”的$${{(}{)}}$$
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['复数的有关概念']正确率80.0%设$${{a}}$$，$${{b}{∈}{R}}$$，则“$$\frac{a} {b}=0$$”是“复数$${{a}{+}{b}{i}}$$为纯虚数”的$${{(}{)}}$$
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
1. 根据欧拉公式 $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$，代入 $$\theta = -\frac{\pi}{6}$$ 得：
$$e^{-\frac{\pi}{6}i} = \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$$
虚部为 $$-\frac{1}{2}$$，故选 C。
2. 复数 $$z = (m+2) + (m^2-9)i$$ 是正实数，需满足虚部为 0 且实部为正：
$$m^2 - 9 = 0 \Rightarrow m = \pm 3$$，
$$m + 2 > 0 \Rightarrow m > -2$$，故 $$m = 3$$，选 B。
3. 复数 $$z = (a^2 - 3a + 2) + (a-2)i$$ 是纯虚数，需满足实部为 0 且虚部不为 0：
$$a^2 - 3a + 2 = 0 \Rightarrow a = 1 \text{ 或 } 2$$，
$$a - 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2$$，故 $$a = 1$$，此时 $$z = -i$$，其共轭复数为 $$i$$，选 B。
4. 复数 $$z = \frac{2}{1 - \sqrt{3}i}$$ 化简：
$$z = \frac{2(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)} = \frac{2 + 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
模长 $$|z| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$$，故命题①错误；
共轭复数 $$\overline{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$，故命题②错误；
虚部为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（不含 $$i$$），故命题③错误；
实部和虚部均为正，对应点在第一象限，故命题④正确。综上，选 A。
5. 复数 $$z = \frac{3 - 2i^2}{1 + i} = \frac{3 + 2}{1 + i} = \frac{5}{1 + i}$$，化简：
$$z = \frac{5(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{5 - 5i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i$$，虚部为 $$-\frac{5}{2}$$，选 A。
6. 设 $$z = a + bi$$，则其共轭复数 $$\overline{z} = a - bi$$，代入方程：
$$(a - bi)(1 + i) = 2i \Rightarrow a + ai - bi - bi^2 = 2i \Rightarrow (a + b) + (a - b)i = 2i$$
解得 $$a + b = 0$$ 且 $$a - b = 2$$，故 $$a = 1$$，$$b = -1$$，即 $$z = 1 - i$$，选 A。
7. 展开 $$(1 + i)i = i + i^2 = i - 1 = -1 + i$$，故 $$a = -1$$，$$b = 1$$，
$$a + b = 0$$，选 B。
8. 复数 $$z = \frac{4 + 3i}{3 - 4i}$$，化简：
$$z = \frac{(4 + 3i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{12 + 16i + 9i + 12i^2}{25} = \frac{25i}{25} = i$$，
其共轭复数为 $$-i$$，虚部为 $$-1$$，选 D。
9. “$$\frac{a}{b} = 0$$” 等价于 $$a = 0$$ 且 $$b \neq 0$$，此时复数 $$a + bi$$ 为纯虚数；反之亦然。故为充分必要条件，选 C。
10. 同第 9 题，选 C。