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正确率60.0%复数$${{z}}$$满足$${{|}{z}{+}{3}{+}{4}{i}{|}{=}{2}{，}}$$则$$z \cdot\overline{{z}}$$的最大值是（）
B
A.$${{7}}$$
B.$${{4}{9}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{8}{1}}$$
2、['复数的模']正确率80.0%已知复数$$z=\frac{5} {2+i}$$，则$${{|}{z}{|}{=}{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{5}}$$
3、['复数的模'， '复数的乘法']正确率80.0%已知复数$${{z}{=}{i}{(}{1}{+}{i}{)}}$$(其中$${{i}}$$为虚数单位)，则$${{|}{z}{|}{=}}$$（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
4、['复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若复数$${{z}{=}{(}{1}{+}{1}{)}{(}{3}{+}{i}{)}}$$，则$${{|}{z}{|}{=}}$$
A
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{2}{0}}$$
5、['复数的模'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$$z=| \left( \sqrt{3}-i \right) i |+i^{2 0 1 9} ($$为虚数单位$${{)}}$$，则复数的共轭复数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{-}{i}}$$
B.$${{2}{+}{i}}$$
C.$${{4}{-}{i}}$$
D.$${{4}{+}{i}}$$
6、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%复数$$z=\frac{3-i} {2+i}$$，则$${{|}{z}{|}}$$等于（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率80.0%复数$${{z}}$$满足$${{(}{1}{+}{2}{i}{)}{z}{=}{|}{1}{+}{3}{i}{{|}^{2}}{，}}$$则在复平面内$${{z}}$$对应的点位于
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['复数的模'， '复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{Z}}$$满足$${（{1}{+}{i}{）}{Z}{=}{|}{3}{+}{4}{i}{|}}$$，则$${{Z}}$$的实部为（）
D
A.$$- \frac{3} {2}$$
B.$$- \frac{5} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
9、['复数的模'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']正确率60.0%
A
A.$${{5}}$$
B.$${{2}{5}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
10、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%规定$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|=a d-b c.$$若在复平面上的三个点$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$分别对应复数$${{0}{，}{z}{，}{z}{i}}$$，其中$${{z}}$$满足$$\left| \begin{matrix} {z} & {1-\mathrm{i}} \\ {1+\mathrm{i}} & {1} \\ \end{matrix} \right|=\mathrm{i}，$$则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
B
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{5}}$$
1. 复数 $$z$$ 满足 $$|z + 3 + 4i| = 2$$，求 $$z \cdot \overline{z}$$ 的最大值。
解析：
设 $$z = x + yi$$，则 $$|z + 3 + 4i| = \sqrt{(x+3)^2 + (y+4)^2} = 2$$。因此，复数 $$z$$ 在以 $$(-3, -4)$$ 为圆心、半径为 2 的圆上。
$$z \cdot \overline{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$$。我们需要最大化 $$x^2 + y^2$$。
圆心到原点的距离为 $$\sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$$。圆上点到原点的最大距离为圆心距离加上半径，即 $$5 + 2 = 7$$。
因此，$$|z|_{\text{max}} = 7$$，$$z \cdot \overline{z}$$ 的最大值为 $$7^2 = 49$$。
答案： B
2. 已知复数 $$z = \frac{5}{2+i}$$，求 $$|z|$$。
解析：
首先计算分母的模：$$|2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$。
因此，$$|z| = \frac{|5|}{|2 + i|} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$。
答案： C
3. 已知复数 $$z = i(1 + i)$$，求 $$|z|$$。
解析：
展开 $$z = i + i^2 = i - 1 = -1 + i$$。
模为 $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。
答案： A
4. 复数 $$z = (1 + 1)(3 + i)$$，求 $$|z|$$。
解析：
先计算 $$z = 2(3 + i) = 6 + 2i$$。
模为 $$|z| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$。
题目可能有笔误，假设原题为 $$z = (1 + i)(3 + i)$$，则：
展开 $$z = 3 + i + 3i + i^2 = 3 + 4i - 1 = 2 + 4i$$。
模为 $$|z| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$。
答案： A
5. 复数 $$z = |(\sqrt{3} - i)i| + i^{2019}$$，求其共轭复数。
解析：
计算 $$(\sqrt{3} - i)i = \sqrt{3}i - i^2 = \sqrt{3}i + 1$$，模为 $$\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$$。
计算 $$i^{2019}$$：周期为 4，$$2019 \mod 4 = 3$$，故 $$i^{2019} = i^3 = -i$$。
因此，$$z = 2 - i$$，其共轭复数为 $$2 + i$$。
答案： B
6. 复数 $$z = \frac{3 - i}{2 + i}$$，求 $$|z|$$。
解析：
先计算分子和分母的模：
$$|3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$，
$$|2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$。
因此，$$|z| = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$$。
答案： A
7. 复数 $$z$$ 满足 $$(1 + 2i)z = |1 + 3i|^2$$，求 $$z$$ 在复平面内的象限位置。
解析：
计算 $$|1 + 3i|^2 = 1^2 + 3^2 = 10$$。
解方程 $$(1 + 2i)z = 10$$，得 $$z = \frac{10}{1 + 2i}$$。
有理化分母：$$z = \frac{10(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{10(1 - 2i)}{1 + 4} = 2(1 - 2i) = 2 - 4i$$。
$$z$$ 的实部为正，虚部为负，位于第四象限。
答案： D
8. 复数 $$Z$$ 满足 $$(1 + i)Z = |3 + 4i|$$，求 $$Z$$ 的实部。
解析：
计算 $$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$。
解方程 $$(1 + i)Z = 5$$，得 $$Z = \frac{5}{1 + i}$$。
有理化分母：$$Z = \frac{5(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{5(1 - i)}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i$$。
实部为 $$\frac{5}{2}$$。
答案： D
10. 复数 $$z$$ 满足行列式 $$\left| \begin{matrix} z & 1-i \\ 1+i & 1 \end{matrix} \right| = i$$，求 $$\triangle ABC$$ 的面积。
解析：
计算行列式：$$z \cdot 1 - (1 - i)(1 + i) = z - (1 - i^2) = z - 2 = i$$，故 $$z = 2 + i$$。
点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 分别对应复数 $$0$$、$$z = 2 + i$$、$$zi = (2 + i)i = -1 + 2i$$。
向量 $$\overrightarrow{AB} = (2, 1)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-1, 2)$$。
面积为 $$\frac{1}{2} |2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)| = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2}$$。
答案： B