复数的有关概念-7.1 复数的概念知识点考前基础选择题自测题解析-宁夏回族自治区等高二数学必修,平均正确率60.0%

1、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '命题的真假性判断']

正确率60.0%设有下面四个命题：$${{p}_{1}}$$：若复数$${{z}}$$满足$$\frac{1} {z} \in{\bf R}，$$则$${{z}{∈}{R}}$$；$${{p}_{2}}$$：若复数$${{z}}$$满足$${{z}^{2}{∈}{R}}$$，则$${{z}{∈}{R}}$$；$${{p}_{3}}$$：若复数$${{z}_{1}{，}{{z}_{2}}}$$满足$$( z_{1} \cdot z_{2} ) \in{\bf R}，$$则$$z_{1}=\overline{{z_{2}}}$$；$${{p}_{4}}$$：若复数$${{z}{∈}{R}}$$，则$$\overline{{z}} \in{\bf R}.$$其中的真命题为（）

A.$${{p}_{1}{，}{{p}_{3}}}$$

B.$${{p}_{1}{，}{{p}_{4}}}$$

C.$${{p}_{2}{，}{{p}_{3}}}$$

D.$${{p}_{2}{，}{{p}_{4}}}$$

2、['复数的有关概念'， '复数相等的条件及应用'， '复数的乘法']

正确率80.0%若$$( x+2 \mathrm{i} ) \mathrm{i}=y+\mathrm{i}，$$其中$$x， \， \， y \in\mathbf{R}， \， \， \mathrm{i}$$为虚数单位，则复数$$z=x+y \mathrm{i}$$的虚部为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{i}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{2}{i}}$$

3、['复数的有关概念'， '实系数一元二次方程在复数范围内的解集']

正确率40.0%已知方程$$x^{2}-p x+1=0$$的两虚根为$${{x}_{1}{、}{{x}_{2}}}$$，若$$| x_{1}-x_{2} |=1$$，则实数$${{p}}$$的值为（）

A.$${{±}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{±}{\sqrt {5}}}$$

C.$$\sqrt{3}， ~ \sqrt{5}$$

D.$$\pm\sqrt{3}， ~ \pm\sqrt{5}$$

4、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%已知$${{a}{∈}{R}}$$，若$$\frac{1+a i} {2+i}$$为实数，则$${{a}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{2}}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{2}}$$

5、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的除法']

正确率40.0%复数$$\frac{4+3 i} {1+2 i}$$的共轭复数的虚部为（）

A.$${{−}{i}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{i}}$$

6、['复数的有关概念'， '复数的除法']

正确率60.0%已知复数$$\frac{i} {1+a i}$$为纯虚数，那么实数$${{a}}$$的值为（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

7、['复数的有关概念'， '复数的除法']

正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，复数$$\frac{1 0 i} {1-2 i}$$的虚部为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{2}{i}}$$

D.$${{2}{i}}$$

8、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法']

正确率60.0%已知复数$$z=\frac{5 i} {4+3 i} \langle i$$是虚数单位），则$${{z}}$$的虚部为（）

A.$$\frac{4} {5} i$$

B.$$- \frac{4} {5} i$$

C.$$\frac{4} {5}$$

D.$$- \frac{4} {5}$$

9、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%设复数$$z=1+\frac{2} {i} ($$其中$${{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$，则$$z^{2}+3 \overline{{z}}$$的虚部为（）

A.$${{2}{i}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{{1}{0}}}$$

D.$${{2}}$$

10、['复数的有关概念']

正确率80.0%“$${{a}{=}{−}{2}}$$”是“复数$$z=( a^{2}-4 )+( a+1 ) i ( a， b \in R )$$为纯虚数”的$${{(}{)}}$$

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

1. 解析：

对于$$p_1$$，若$$\frac{1}{z} \in \mathbf{R}$$，则$$z$$必须为实数或纯虚数且$$\frac{1}{z}$$为实数，因此$$z \in \mathbf{R}$$，$$p_1$$为真。

对于$$p_2$$，反例：$$z = i$$，$$z^2 = -1 \in \mathbf{R}$$，但$$z \notin \mathbf{R}$$，$$p_2$$为假。

对于$$p_3$$，反例：$$z_1 = 1$$，$$z_2 = 2$$，$$z_1 \cdot z_2 = 2 \in \mathbf{R}$$，但$$z_1 \neq \overline{z_2}$$，$$p_3$$为假。

对于$$p_4$$，若$$z \in \mathbf{R}$$，则$$\overline{z} = z \in \mathbf{R}$$，$$p_4$$为真。

因此，真命题为$$p_1$$和$$p_4$$，选B。

2. 解析：

由$$(x + 2i)i = y + i$$展开得$$xi + 2i^2 = y + i$$，即$$xi - 2 = y + i$$。

比较实部和虚部：$$-2 = y$$，$$x = 1$$。

因此$$z = x + yi = 1 - 2i$$，虚部为$$-2$$，选C。

3. 解析：

设虚根为$$x_1 = a + bi$$，$$x_2 = a - bi$$，则$$x_1 + x_2 = 2a = p$$，$$x_1 x_2 = a^2 + b^2 = 1$$。

由$$|x_1 - x_2| = |2bi| = 2|b| = 1$$，得$$|b| = \frac{1}{2}$$。

代入$$a^2 + b^2 = 1$$得$$a^2 = \frac{3}{4}$$，$$a = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$。

因此$$p = 2a = \pm \sqrt{3}$$，选A。

4. 解析：

$$\frac{1 + ai}{2 + i} = \frac{(1 + ai)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i + 2ai + a}{5} = \frac{(2 + a) + (2a - 1)i}{5}$$。

若为实数，则虚部为0，即$$2a - 1 = 0$$，解得$$a = \frac{1}{2}$$，选C。

5. 解析：

$$\frac{4 + 3i}{1 + 2i} = \frac{(4 + 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{4 - 8i + 3i - 6i^2}{5} = \frac{10 - 5i}{5} = 2 - i$$。

其共轭复数为$$2 + i$$，虚部为1，选C。

6. 解析：

$$\frac{i}{1 + ai} = \frac{i(1 - ai)}{(1 + ai)(1 - ai)} = \frac{i + a}{1 + a^2}$$。

若为纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即$$\frac{a}{1 + a^2} = 0$$且$$\frac{1}{1 + a^2} \neq 0$$。

解得$$a = 0$$，选B。

7. 解析：

$$\frac{10i}{1 - 2i} = \frac{10i(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{10i - 20}{5} = -4 + 2i$$。

虚部为2，选B。

8. 解析：

$$z = \frac{5i}{4 + 3i} = \frac{5i(4 - 3i)}{(4 + 3i)(4 - 3i)} = \frac{20i + 15}{25} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$$。

虚部为$$\frac{4}{5}$$，选C。

9. 解析：

$$z = 1 + \frac{2}{i} = 1 - 2i$$，$$\overline{z} = 1 + 2i$$。

$$z^2 = (1 - 2i)^2 = -3 - 4i$$，$$3\overline{z} = 3 + 6i$$。

$$z^2 + 3\overline{z} = (-3 - 4i) + (3 + 6i) = 2i$$，虚部为2，选D。

10. 解析：

复数$$z$$为纯虚数的条件是实部为0且虚部不为0，即$$a^2 - 4 = 0$$且$$a + 1 \neq 0$$。

解得$$a = \pm 2$$且$$a \neq -1$$，因此$$a = -2$$是充分条件，但不是必要条件，选A。

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