复数的模-7.1 复数的概念知识点课后基础自测题解析-陕西省等高二数学必修,平均正确率64.0%

1、['复数的模'， '复数的有关概念'， '复数的乘法']

正确率60.0%复数$$( 2+\mathrm{i} ) ( | 3+4 \mathrm{i} |-\mathrm{i} )$$的虚部为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{7}}$$

C.$${{−}{3}{i}}$$

D.$${{−}{7}{i}}$$

2、['复数的模'， '复数的除法']

正确率60.0%已知$$( 1+\mathrm{i} ) \cdot z=| 3+4 \mathrm{i} |$$，则$${{z}{=}}$$（）

A.$$\frac{5} {2}-\frac{5} {2} \mathrm{i}$$

B.$$\frac{5} {2}+\frac{5} {2} \mathrm{i}$$

C.$$\frac{7} {2}+\frac{1} {2} \mathrm{i}$$

D.$$\frac{7} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$

3、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模']

正确率60.0%设复数$${{z}}$$满足$$| z-3+4 i |=| z+3-4 i |$$，则复数$${{z}}$$在复平面上对应点的轨迹是（）

A.圆

B.半圆

C.直线

D.射线

4、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的模'， '复数的除法']

正确率60.0%已知复数$$z=m-3+( m-1 ) \mathrm{i} ( m \in{\bf Z} )$$在复平面内对应的点在第二象限，则$$| \frac{1} {z} |=$$（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

5、['复数的模'， '复数的除法']

正确率40.0%已知$${{i}}$$表示虚数单位，复数$$z=a+b i$$的模表示为$$| z |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$，则$$| \frac{i} {2 i+1} |=($$）

A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

B.$${{1}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${{5}}$$

6、['复数的模'， '复数的除法']

正确率60.0%已知$${{i}}$$表示虚数单位，则复数$$\frac{i} {2 i+1}$$的模为

A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

B.$${{1}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${{5}}$$

7、['复数的模'， '复数的四则运算综合应用']

正确率80.0%设$$z=\frac{1} {1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}$$，则$${{|}{z}{|}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$${{2}}$$

8、['交集'， '集合中元素的三个特性（确定性、无序性、互异性）'， '复数的模']

正确率60.0%集合$$A=\{3， 2^{a} \}， \， \， \， B=\{a， b \}$$若$$A \bigcap B=\{2 \}$$，则$$| a+b i |$$$${{=}{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {5}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

9、['复数的模']

正确率80.0%若$$z=3+4 i$$，则$$| z |=~ ($$）

A.$${\sqrt {5}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{2}{5}}$$

10、['复数的模']

正确率80.0%设复数$${{z}}$$满足$$| z-3-4 i |=1$$，则$${{|}{z}{|}}$$的最大值是$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

1. 复数 $$(2+\mathrm{i})(|3+4\mathrm{i}|-\mathrm{i})$$ 的虚部为：

首先计算 $$|3+4\mathrm{i}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$，所以表达式化简为 $$(2+\mathrm{i})(5-\mathrm{i})$$。展开后得到： $$2 \times 5 + 2 \times (-\mathrm{i}) + \mathrm{i} \times 5 + \mathrm{i} \times (-\mathrm{i}) = 10 - 2\mathrm{i} + 5\mathrm{i} - \mathrm{i}^2 = 10 + 3\mathrm{i} + 1 = 11 + 3\mathrm{i}$$。虚部为 $$3$$，故选 A。

2. 已知 $$(1+\mathrm{i}) \cdot z = |3+4\mathrm{i}|$$，求 $$z$$：

首先计算 $$|3+4\mathrm{i}| = 5$$，所以方程为 $$(1+\mathrm{i})z = 5$$。解得： $$z = \frac{5}{1+\mathrm{i}} = \frac{5(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{5(1-\mathrm{i})}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}\mathrm{i}$$。故选 A。

3. 复数 $$z$$ 满足 $$|z-3+4\mathrm{i}| = |z+3-4\mathrm{i}|$$，其轨迹为：

设 $$z = x + y\mathrm{i}$$，代入方程得： $$\sqrt{(x-3)^2 + (y+4)^2} = \sqrt{(x+3)^2 + (y-4)^2}$$。两边平方后化简： $$(x-3)^2 + (y+4)^2 = (x+3)^2 + (y-4)^2$$，展开后消去相同项得到： $$-6x + 8y = 6x - 8y$$，即 $$12x = 16y$$，化简为 $$3x = 4y$$。这是一条直线，故选 C。

4. 复数 $$z = m-3 + (m-1)\mathrm{i}$$ 在第二象限，求 $$\left|\frac{1}{z}\right|$$：

复数在第二象限的条件是实部小于零，虚部大于零： $$m-3 < 0$$ 且 $$m-1 > 0$$，解得 $$1 < m < 3$$，且 $$m \in \mathbb{Z}$$，故 $$m = 2$$。此时 $$z = -1 + \mathrm{i}$$，模为 $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。所以 $$\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 C。

5. 计算 $$\left|\frac{\mathrm{i}}{2\mathrm{i}+1}\right|$$：

复数模的性质 $$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$$。计算分子模 $$|\mathrm{i}| = 1$$，分母模 $$|2\mathrm{i}+1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$。所以结果为 $$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，故选 A。

6. 同第5题，答案为 A。

7. 设 $$z = \frac{1}{1+\mathrm{i}} + \mathrm{i}$$，求 $$|z|$$：

首先计算 $$\frac{1}{1+\mathrm{i}} = \frac{1-\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{1-\mathrm{i}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}$$。所以 $$z = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}\right) + \mathrm{i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$$。模为 $$|z| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 B。

8. 集合 $$A \cap B = \{2\}$$，求 $$|a + b\mathrm{i}|$$：

因为 $$A \cap B = \{2\}$$，所以 $$2^a = 2$$，解得 $$a = 1$$。同时 $$B$$ 中的元素 $$a$$ 或 $$b$$ 必须为 $$2$$，因为 $$a = 1$$，所以 $$b = 2$$。因此复数 $$a + b\mathrm{i} = 1 + 2\mathrm{i}$$，模为 $$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$，故选 A。

9. 复数 $$z = 3 + 4\mathrm{i}$$ 的模为：

直接计算 $$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$，故选 B。

10. 复数 $$z$$ 满足 $$|z-3-4\mathrm{i}| = 1$$，求 $$|z|$$ 的最大值：

方程表示 $$z$$ 在以 $$3 + 4\mathrm{i}$$ 为圆心、半径为 $$1$$ 的圆上。 $$|z|$$ 的最大值为圆心到原点的距离加上半径： $$|3 + 4\mathrm{i}| + 1 = 5 + 1 = 6$$，故选 D。

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