1、['复数的分类'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的乘法']正确率60.0%已知复数$$z=a+b \mathrm{i} ( a， ~ b \in\mathbf{R}， ~ \mathrm{i}$$为虚数单位)，$${{z}^{2}}$$为纯虚数，则在复平面内$${，{z}}$$对应的点$${{Z}}$$的轨迹为（）
D
A.圆
B.一条线段
C.两条直线
D.不含端点的$${{4}}$$条射线
2、['复数的分类'， '复数的乘法']正确率60.0%设$${{a}{∈}{R}{，}}$$若复数$$( 2+a \mathrm{i} ) ( a-\mathrm{i} )$$是纯虚数$${{(}{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$，则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
3、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$$a \in\mathbf{R}， \mathrm{~ i ~}$$为虚数单位，若$$z=\frac{a-3 \mathrm{i}} {2+4 \mathrm{i}}$$为实数，则$${{a}}$$的值为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac2 3$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
4、['复数的分类'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位$$， \， \， a \in{\bf R}，$$若复数$$\frac{a-\mathrm{i}} {1-2 \mathrm{i}}$$为纯虚数，则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
5、['复数的分类'， '复数的有关概念']正确率80.0%下列说法中正确的是（）
C
A.$$5+\mathrm{i} > 4+\mathrm{i}$$
B.若$${{a}{∈}{R}{，}}$$则$$( a+1 ) \mathrm{i}$$是纯虚数
C.实数集是复数集的真子集
D.若$$z^{2}=-1，$$则$${{z}{=}{i}}$$
6、['复数的分类'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$$z=\frac{( 2+a \mathrm{i} ) \mathrm{i}} {1+\mathrm{i}}$$是纯虚数，其中$${{a}}$$是实数，则$${{z}}$$等于（）
A
A.$${{2}{i}}$$
B.$${{−}{2}{i}}$$
C.$${{i}}$$
D.$${{−}{i}}$$
7、['复数的分类'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']正确率60.0%已知复数$${{z}}$$在复平面上对应的点的坐标为$$(-1， 1 )，$$则（）
C
A.$${{z}{−}{1}}$$是实数
B.$${{z}{−}{1}}$$是纯虚数
C.$${{z}{−}{i}}$$是实数
D.$${{z}{+}{i}}$$是纯虚数
8、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的加法及其几何意义']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，若$$( 1+\mathrm{i} ) ( a+\mathrm{i} )$$为实数，则实数$${{a}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}}$$
9、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '命题的真假性判断'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，现有下面四个命题
$${{p}_{1}}$$：复数$$z_{1}=a+b i$$与$$z_{2}=-a+b i， \quad( \ a， \ b \in R )$$在复平面内对应的点关于实轴对称；
$${{p}_{2}}$$：若复数$${{z}}$$满足$$( {\bf1}-i ) ~ z={\bf1}+i$$，则$${{z}}$$为纯虚数；
$${{p}_{3}}$$：若复数$${{z}_{1}{，}{{z}_{2}}}$$满意$$z_{1} z_{2} \in R$$，则$$z_{2}=\overline{{z_{1}}}$$；
$${{p}_{4}}$$：若复数$${{z}}$$满足$$z^{2}+1=0$$，则$${{z}{=}{±}{i}}$$．
其中的真命题为（）
B
A.$${{p}_{1}{，}{{p}_{4}}}$$
B.$${{p}_{2}{，}{{p}_{4}}}$$
C.$${{p}_{1}{，}{{p}_{3}}}$$
D.$${{p}_{2}{，}{{p}_{3}}}$$
10、['复数的分类'， '复数的乘法']正确率60.0%已知复数$$( 1+\mathrm{i} ) ( a+\mathrm{i} )$$为纯虚数($${{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$，则实数$${{a}{=}}$$（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$
1. 解析：
复数 $$z = a + b\mathrm{i}$$，则 $$z^2 = (a^2 - b^2) + 2ab\mathrm{i}$$。因为 $$z^2$$ 为纯虚数，所以实部为 0 且虚部不为 0，即：
$$a^2 - b^2 = 0$$ 且 $$2ab \neq 0$$。
解得 $$a = \pm b$$ 且 $$a, b \neq 0$$。因此，点 $$Z$$ 的轨迹是两条直线 $$y = x$$ 和 $$y = -x$$，但不包括原点。答案为 C。
2. 解析：
复数 $$(2 + a\mathrm{i})(a - \mathrm{i}) = 2a + a^2\mathrm{i} - 2\mathrm{i} + a = (3a) + (a^2 - 2)\mathrm{i}$$。因为是纯虚数，所以实部为 0 且虚部不为 0：
$$3a = 0$$ 且 $$a^2 - 2 \neq 0$$。
解得 $$a = 0$$。但 $$a = 0$$ 时虚部为 $$-2 \neq 0$$，符合条件。但选项中有 $$a = \pm \sqrt{2}$$ 不符合，因此题目可能有误。重新检查：
题目应为 $$(2 + a\mathrm{i})(a - \mathrm{i})$$ 是纯虚数，则实部 $$3a = 0$$，虚部 $$a^2 - 2 \neq 0$$，所以 $$a = 0$$。但选项 A 为 0，可能是正确答案。但原题选项 D 为 $$\pm \sqrt{2}$$，可能是题目描述不同。假设题目为 $$(2 + a\mathrm{i})(a + \mathrm{i})$$，则实部为 $$2a - a = a$$，虚部为 $$2 + a^2$$，纯虚数要求 $$a = 0$$ 且 $$2 + a^2 \neq 0$$，即 $$a = 0$$。但选项 A 为 0，可能是正确答案。根据原题选项，选择 A。
3. 解析：
复数 $$z = \frac{a - 3\mathrm{i}}{2 + 4\mathrm{i}}$$ 为实数，则虚部为 0。有理化分母：
$$z = \frac{(a - 3\mathrm{i})(2 - 4\mathrm{i})}{(2 + 4\mathrm{i})(2 - 4\mathrm{i})} = \frac{2a - 4a\mathrm{i} - 6\mathrm{i} - 12}{4 + 16} = \frac{(2a - 12) + (-4a - 6)\mathrm{i}}{20}$$。
虚部为 0，则 $$-4a - 6 = 0$$，解得 $$a = -\frac{3}{2}$$。答案为 D。
4. 解析：
复数 $$\frac{a - \mathrm{i}}{1 - 2\mathrm{i}}$$ 为纯虚数，则实部为 0 且虚部不为 0。有理化分母：
$$\frac{(a - \mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i})}{(1 - 2\mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i})} = \frac{a + 2a\mathrm{i} - \mathrm{i} + 2}{5} = \frac{(a + 2) + (2a - 1)\mathrm{i}}{5}$$。
实部为 0，则 $$a + 2 = 0$$，解得 $$a = -2$$。此时虚部为 $$\frac{2(-2) - 1}{5} = -1 \neq 0$$，符合条件。答案为 A。
5. 解析：
A 错误，复数不能比较大小；B 错误，若 $$a = -1$$，则 $$(a + 1)\mathrm{i} = 0$$ 不是纯虚数；C 正确，实数集是复数集的真子集；D 错误，$$z$$ 还可以为 $$-\mathrm{i}$$。答案为 C。
6. 解析：
复数 $$z = \frac{(2 + a\mathrm{i})\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{2\mathrm{i} - a}{1 + \mathrm{i}}$$ 是纯虚数。有理化分母：
$$z = \frac{(2\mathrm{i} - a)(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} = \frac{2\mathrm{i} + 2 - a + a\mathrm{i}}{2} = \frac{(2 - a) + (2 + a)\mathrm{i}}{2}$$。
因为是纯虚数，实部为 0，则 $$2 - a = 0$$，解得 $$a = 2$$。此时 $$z = \frac{0 + 4\mathrm{i}}{2} = 2\mathrm{i}$$。答案为 A。
7. 解析：
复数 $$z$$ 对应的点为 $$(-1, 1)$$，则 $$z = -1 + \mathrm{i}$$。
A：$$z - 1 = -2 + \mathrm{i}$$ 不是实数；B：$$z - 1 = -2 + \mathrm{i}$$ 不是纯虚数；C：$$z - \mathrm{i} = -1$$ 是实数；D：$$z + \mathrm{i} = -1 + 2\mathrm{i}$$ 不是纯虚数。答案为 C。
8. 解析：
复数 $$(1 + \mathrm{i})(a + \mathrm{i}) = a + \mathrm{i} + a\mathrm{i} - 1 = (a - 1) + (1 + a)\mathrm{i}$$ 为实数，则虚部为 0：
$$1 + a = 0$$，解得 $$a = -1$$。答案为 C。
9. 解析：
$$p_1$$：$$z_1 = a + b\mathrm{i}$$ 和 $$z_2 = -a + b\mathrm{i}$$ 关于实轴对称，正确；
$$p_2$$：解 $$(1 - \mathrm{i})z = 1 + \mathrm{i}$$ 得 $$z = \frac{1 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} = \mathrm{i}$$ 是纯虚数，正确；
$$p_3$$：反例 $$z_1 = 1$$，$$z_2 = 2$$，$$z_1 z_2 = 2 \in \mathbb{R}$$，但 $$z_2 \neq \overline{z_1}$$，错误；
$$p_4$$：解 $$z^2 + 1 = 0$$ 得 $$z = \pm \mathrm{i}$$，正确。答案为 B。
10. 解析：
复数 $$(1 + \mathrm{i})(a + \mathrm{i}) = a + \mathrm{i} + a\mathrm{i} - 1 = (a - 1) + (1 + a)\mathrm{i}$$ 为纯虚数，则实部为 0 且虚部不为 0：
$$a - 1 = 0$$ 且 $$1 + a \neq 0$$，解得 $$a = 1$$。答案为 B。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱
.jpg)