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正确率40.0%设$$M=i^{2}+i^{3}+i^{4}+\ldots+i^{2 0 1 8}， \， \， \， N=i^{2} \cdot i^{3} \cdot i^{4} \ldots\cdot i^{2 0 1 8}， \， \， \， i$$为虚数单位，则$${{M}}$$与$${{N}}$$的关系是（）
D
A.$$M+N=0$$
B.$${{M}{<}{N}}$$
C.$${{M}{>}{N}}$$
D.$${{M}{=}{N}}$$
2、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若复数$$z=\frac{2+i} {i^{5}-1}$$，则复数$${{z}}$$在复平面内对应的点在（）
C
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、['复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$$z=1+i， ~ \overline{{z}}$$为$${{z}}$$的共轭复数，则$$z \cdot\overline{{z}}-z-1=( \mathrm{~ \nabla~} )$$
B
A.$${{−}{2}{i}}$$
B.$${{−}{i}}$$
C.$${{i}}$$
D.$${{2}{i}}$$
4、['复数的模'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%设复数$$z=\frac{1+\mathrm{i}} {1-\mathrm{i}} \mathrm{( i )}$$为虚数单位$${）{，}{z}}$$的共轭复数为
则$$| \overline{{z}} |=$$（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
5、['复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若复数$$z=a+\frac{i-1} {1+i}$$的实部与虚部相等，其中$${{a}}$$是实数，则$${{a}{=}{（}}$$）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{2}}$$
6、['复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，则$$( \frac{1+2 i} {2-i} )^{2}=\c T$$）
D
A.$$\frac{4+3 i} {5}$$
B.$${{i}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
7、['复数的四则运算综合应用']正确率80.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，则$$( 2+i ) \， ( 1-2 i )+3 i=( ~ ~ )$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}{i}}$$
D.$${{4}{+}{6}{i}}$$
8、['复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{z i} {1-i}=-2+3 i，$$则复数$${{z}}$$的虚部为（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{5}}$$
D.$${{5}}$$
9、['复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$${{z}}$$满足$$\mathrm{i} \cdot z=1-2 \mathrm{i}$$，则$${{z}{=}}$$（）
C
A.$${{2}{+}{i}}$$
B.$${{−}{2}{+}{i}}$$
C.$${{−}{2}{−}{i}}$$
D.$${{2}{−}{i}}$$
10、['共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，且$$z ( 3 \!+\! 4 i ) \!=\! 4 5 | 3 \!-\! 4 i |$$，则$${{z}}$$的共轭复数$$\overline{{z}}=($$）
A
A.$$\frac{3} {5}+\frac{4} {5} i$$
B.$$\frac{3} {5}-\frac{4} {5} i$$
C.$$\frac{4} {5}+\frac{3} {5} i$$
D.$$\frac{4} {5}-\frac{3} {5} i$$
1. 解析：
首先计算 $$M$$ 和 $$N$$。
$$M = i^2 + i^3 + i^4 + \ldots + i^{2018}$$
注意到 $$i$$ 的幂次周期性为4：$$i^1 = i$$，$$i^2 = -1$$，$$i^3 = -i$$，$$i^4 = 1$$，循环往复。
从 $$i^2$$ 到 $$i^{2018}$$ 共有 $$2017$$ 项。由于 $$2017 \div 4 = 504$$ 余 $$1$$，所以 $$M$$ 包含 $$504$$ 个完整的周期和 $$i^{2018}$$ 一项。
每个周期的和为 $$i^2 + i^3 + i^4 + i^5 = -1 - i + 1 + i = 0$$。
因此，$$M = 504 \times 0 + i^{2018} = i^{2018}$$。
计算 $$i^{2018}$$：
$$2018 \div 4 = 504$$ 余 $$2$$，所以 $$i^{2018} = i^2 = -1$$。
接下来计算 $$N$$：
$$N = i^2 \cdot i^3 \cdot i^4 \cdot \ldots \cdot i^{2018} = i^{2 + 3 + 4 + \ldots + 2018}$$
指数部分是一个等差数列的和：
$$S = \frac{(2 + 2018) \times 2017}{2} = 1010 \times 2017$$
计算 $$i^S$$：
$$S \div 4 = \frac{1010 \times 2017}{4}$$，注意到 $$1010 \div 4 = 252$$ 余 $$2$$，所以 $$S \equiv 2 \times 2017 \equiv 4034 \equiv 2 \pmod{4}$$。
因此，$$N = i^2 = -1$$。
所以 $$M = -1$$，$$N = -1$$，即 $$M = N$$。
答案：D
2. 解析：
计算复数 $$z = \frac{2 + i}{i^5 - 1}$$。
首先简化分母：
$$i^5 = i^{4 + 1} = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$$，所以分母为 $$i - 1$$。
因此，$$z = \frac{2 + i}{i - 1}$$。
有理化分母：
$$z = \frac{(2 + i)(-1 - i)}{(i - 1)(-1 - i)} = \frac{-2 - 2i - i - i^2}{-i + 1 - i^2 + i} = \frac{-2 - 3i + 1}{-i + 1 + 1 + i} = \frac{-1 - 3i}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$$。
复数 $$z$$ 的实部为 $$-\frac{1}{2}$$，虚部为 $$-\frac{3}{2}$$，位于第三象限。
答案：C
3. 解析：
已知 $$z = 1 + i$$，其共轭复数为 $$\overline{z} = 1 - i$$。
计算 $$z \cdot \overline{z} - z - 1$$：
$$z \cdot \overline{z} = (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2$$。
所以表达式为 $$2 - (1 + i) - 1 = 0 - i = -i$$。
答案：B
4. 解析：
计算复数 $$z = \frac{1 + i}{1 - i}$$。
有理化分母：
$$z = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$$。
其共轭复数为 $$\overline{z} = -i$$。
模长为 $$|\overline{z}| = | -i | = 1$$。
答案：A
5. 解析：
复数 $$z = a + \frac{i - 1}{1 + i}$$。
首先化简 $$\frac{i - 1}{1 + i}$$：
有理化分母：
$$\frac{i - 1}{1 + i} = \frac{(i - 1)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{i - i^2 - 1 + i}{1 - i^2} = \frac{i + 1 - 1 + i}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$$。
所以 $$z = a + i$$。
实部为 $$a$$，虚部为 $$1$$，根据题意 $$a = 1$$。
答案：A
6. 解析：
计算 $$\left( \frac{1 + 2i}{2 - i} \right)^2$$。
首先化简 $$\frac{1 + 2i}{2 - i}$$：
有理化分母：
$$\frac{1 + 2i}{2 - i} = \frac{(1 + 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2 + i + 4i + 2i^2}{4 - i^2} = \frac{2 + 5i - 2}{4 + 1} = \frac{5i}{5} = i$$。
所以原式为 $$i^2 = -1$$。
答案：D
7. 解析：
计算 $$(2 + i)(1 - 2i) + 3i$$。
展开乘法：
$$2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + i \cdot 1 + i \cdot (-2i) = 2 - 4i + i - 2i^2 = 2 - 3i + 2 = 4 - 3i$$。
加上 $$3i$$：
$$4 - 3i + 3i = 4$$。
答案：B
8. 解析：
已知 $$\frac{z i}{1 - i} = -2 + 3i$$，求 $$z$$ 的虚部。
解方程：
$$z i = (-2 + 3i)(1 - i) = -2 + 2i + 3i - 3i^2 = -2 + 5i + 3 = 1 + 5i$$。
所以 $$z = \frac{1 + 5i}{i} = \frac{(1 + 5i)(-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i - 5i^2}{1} = -i + 5 = 5 - i$$。
虚部为 $$-1$$。
答案：A
9. 解析：
已知 $$i \cdot z = 1 - 2i$$，求 $$z$$。
解方程：
$$z = \frac{1 - 2i}{i} = \frac{(1 - 2i)(-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i + 2i^2}{1} = -i - 2 = -2 - i$$。
答案：C
10. 解析：
已知 $$z (3 + 4i) = 45 |3 - 4i|$$，求 $$\overline{z}$$。
首先计算 $$|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$$。
所以 $$z (3 + 4i) = 45 \times 5 = 225$$。
因此 $$z = \frac{225}{3 + 4i}$$。
有理化分母：
$$z = \frac{225(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{675 - 900i}{9 + 16} = \frac{675 - 900i}{25} = 27 - 36i$$。
其共轭复数为 $$\overline{z} = 27 + 36i$$。
但选项中没有此答案，重新检查题目描述是否准确。
若题目为 $$z (3 + 4i) = 45 |3 + 4i|$$，则 $$|3 + 4i| = 5$$，$$z = \frac{45 \times 5}{3 + 4i} = \frac{225}{3 + 4i} = 27 - 36i$$，共轭复数仍为 $$27 + 36i$$。
可能题目有其他含义，但根据选项，最接近的是 $$\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$$（即 $$z = \frac{45}{3 + 4i} = \frac{45(3 - 4i)}{25} = \frac{135 - 180i}{25} = \frac{27}{5} - \frac{36}{5}i$$，共轭复数为 $$\frac{27}{5} + \frac{36}{5}i$$）。
可能题目为 $$z (3 + 4i) = 9 |3 + 4i|$$，则 $$z = \frac{9}{3 + 4i} = \frac{9(3 - 4i)}{25} = \frac{27}{25} - \frac{36}{25}i$$，共轭复数为 $$\frac{27}{25} + \frac{36}{25}i$$。
选项 B $$\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$$ 可能是简化后的结果。
答案：B