1、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的乘法']正确率80.0%若复数$${{z}}$$满足：$$z=1+\mathrm{i}$$，则$$z^{2}-2 z$$的共轭复数的虚部为（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{i}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$
2、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的乘法']正确率80.0%若复数$${{z}}$$满足$$( 1+\mathrm{i} ) \cdot z=1-\mathrm{i}，$$则
的虚部为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{i}}$$
D.$${{−}{i}}$$
3、['复数的乘法']正确率60.0%$$( 1-\mathrm{i} ) \left(-\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i} \right) ( 1+\mathrm{i} )=$$（）
B
A.$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$
B.$$- 1+\sqrt{3} \mathrm{i}$$
C.$$\sqrt{3}+\mathrm{i}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
4、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法']正确率60.0%已知复数$$( 1+a \mathrm{i} ) \mathrm{i}=2-b \mathrm{i}$$，$${{a}}$$，$${{b}{∈}{R}}$$，则$${{a}{+}{b}{=}}$$（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{3}}$$
5、['共轭复数'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$$z=\frac{( 1-i ) ( 4-i )} {1+i}$$的共轭复数是（）
D
A.$${{−}{4}{i}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{4}{i}}$$
D.$$- 1+4 i$$
6、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%定义运算$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|=a d-b c，$$则符合条件$$\left| \begin{matrix} {1} & {-1} \\ {z} & {z \mathrm{i}} \\ \end{matrix} \right|=4+2 \mathrm{i}$$$${{(}{i}}$$为虚数单位)的复数$${{z}}$$在复平面内对应的点位于（）
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
7、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复数$${{z}}$$是一元二次方程$$x^{2}-2 x+5=0$$的一个根，则$${{|}{z}{|}}$$的值为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{2}}$$
8、['复数的有关概念'， '复数的乘法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，设复数$$z=\frac{a+2 i} {3-4 i}$$为纯虚数，则实数$${{a}{=}{（}}$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.一$$\frac{8} {2}$$
C.一$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{8} {2}$$
9、['复数的乘法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%$$\left( 1-i \right) ( 3+i )=\textsubscript{(}$$）
D
A.$${{2}{+}{2}{i}}$$
B.$${{2}{−}{2}{i}}$$
C.$${{4}{+}{2}{i}}$$
D.$${{4}{−}{2}{i}}$$
10、['共轭复数'， '复数的乘法'， '复数的加法及其几何意义']正确率60.0%已知$$z=2-\mathrm{i}$$，则$$z ( \overline{{z}}+\mathrm{i} )=$$（）
C
A.$${{6}{−}{2}{i}}$$
B.$${{4}{−}{2}{i}}$$
C.$${{6}{+}{2}{i}}$$
D.$${{4}{+}{2}{i}}$$
1. 已知复数$$z=1+\mathrm{i}$$，则$$z^{2}-2 z$$的共轭复数的虚部为：
首先计算$$z^2$$和$$2z$$：
$$z^2 = (1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 1 + 2\mathrm{i} -1 = 2\mathrm{i}$$
$$2z = 2(1+\mathrm{i}) = 2 + 2\mathrm{i}$$
然后计算$$z^2 - 2z$$：
$$z^2 - 2z = 2\mathrm{i} - (2 + 2\mathrm{i}) = -2$$
其共轭复数仍为$$-2$$，虚部为$$0$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
2. 复数$$z$$满足$$(1+\mathrm{i}) \cdot z=1-\mathrm{i}$$，则$$z$$的虚部为：
解方程求$$z$$：
$$z = \frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(1-\mathrm{i})^2}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{1 - 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2}{1 - \mathrm{i}^2} = \frac{-2\mathrm{i}}{2} = -\mathrm{i}$$
$$z$$的虚部为$$-1$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$
3. 计算$$(1-\mathrm{i}) \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)(1+\mathrm{i})$$：
先计算$$(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}^2 = 2$$
再乘以中间部分：
$$2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right) = -1 + \sqrt{3}\mathrm{i}$$
正确答案：$$\boxed{B}$$
4. 已知复数$$(1+a\mathrm{i})\mathrm{i} = 2 - b\mathrm{i}$$，求$$a + b$$：
展开左边：
$$(1 + a\mathrm{i})\mathrm{i} = \mathrm{i} + a\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} - a$$
与右边比较实部和虚部：
$$\mathrm{i} - a = 2 - b\mathrm{i}$$
得实部$$-a = 2$$，虚部$$1 = -b$$，解得$$a = -2$$，$$b = -1$$
$$a + b = -3$$
正确答案：$$\boxed{D}$$
5. 复数$$z = \frac{(1-\mathrm{i})(4-\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}$$的共轭复数为：
先计算分子：
$$(1-\mathrm{i})(4-\mathrm{i}) = 4 - \mathrm{i} - 4\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 4 - 5\mathrm{i} -1 = 3 - 5\mathrm{i}$$
再除以分母：
$$z = \frac{3 - 5\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(3 - 5\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} = \frac{3 - 3\mathrm{i} -5\mathrm{i} +5\mathrm{i}^2}{1 - \mathrm{i}^2} = \frac{-2 -8\mathrm{i}}{2} = -1 -4\mathrm{i}$$
其共轭复数为$$-1 + 4\mathrm{i}$$
正确答案：$$\boxed{D}$$
6. 复数$$z$$满足行列式条件$$\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ z & z\mathrm{i} \end{matrix} \right| = 4 + 2\mathrm{i}$$，其在复平面内的位置：
计算行列式：
$$1 \cdot z\mathrm{i} - (-1) \cdot z = z\mathrm{i} + z = z(1 + \mathrm{i}) = 4 + 2\mathrm{i}$$
解得：
$$z = \frac{4 + 2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(4 + 2\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} = \frac{4 -4\mathrm{i} +2\mathrm{i} -2\mathrm{i}^2}{1 - \mathrm{i}^2} = \frac{6 -2\mathrm{i}}{2} = 3 - \mathrm{i}$$
$$z$$对应点$$(3, -1)$$位于第四象限。
正确答案：$$\boxed{D}$$
7. 复数$$z$$是方程$$x^2 - 2x + 5 = 0$$的根，求$$|z|$$：
解方程：
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm 4\mathrm{i}}{2} = 1 \pm 2\mathrm{i}$$
取$$z = 1 + 2\mathrm{i}$$，则模长：
$$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$
正确答案：$$\boxed{C}$$
8. 复数$$z = \frac{a + 2\mathrm{i}}{3 - 4\mathrm{i}}$$为纯虚数，求实数$$a$$：
化简$$z$$：
$$z = \frac{(a + 2\mathrm{i})(3 + 4\mathrm{i})}{(3 - 4\mathrm{i})(3 + 4\mathrm{i})} = \frac{3a + 4a\mathrm{i} +6\mathrm{i} +8\mathrm{i}^2}{9 +16} = \frac{(3a -8) + (4a +6)\mathrm{i}}{25}$$
纯虚数条件为实部为$$0$$：
$$\frac{3a -8}{25} = 0 \Rightarrow 3a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{3}$$
但选项中没有$$\frac{8}{3}$$，可能是题目选项有误。
正确答案：$$\boxed{D}$$（假设选项D应为$$\frac{8}{3}$$）
9. 计算$$(1-\mathrm{i})(3 + \mathrm{i})$$：
展开：
$$(1 - \mathrm{i})(3 + \mathrm{i}) = 3 + \mathrm{i} -3\mathrm{i} - \mathrm{i}^2 = 3 -2\mathrm{i} +1 = 4 -2\mathrm{i}$$
正确答案：$$\boxed{D}$$
10. 已知$$z = 2 - \mathrm{i}$$，求$$z(\overline{z} + \mathrm{i})$$：
计算$$\overline{z} = 2 + \mathrm{i}$$，则：
$$\overline{z} + \mathrm{i} = 2 + \mathrm{i} + \mathrm{i} = 2 + 2\mathrm{i}$$
再计算乘积：
$$z(\overline{z} + \mathrm{i}) = (2 - \mathrm{i})(2 + 2\mathrm{i}) = 4 + 4\mathrm{i} -2\mathrm{i} -2\mathrm{i}^2 = 4 + 2\mathrm{i} +2 = 6 + 2\mathrm{i}$$
正确答案：$$\boxed{C}$$
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