复数的减法及其几何意义-7.2 复数的四则运算知识点教师选题进阶自测题解析-河北省等高二数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['复数的模'， '复数的减法及其几何意义'， '与圆有关的最值问题']

正确率40.0%若$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$| z | \leq1$$，则$$| z-2 \mathrm{i} |$$的最大值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$

2、['两点间的距离'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']

正确率60.0%满足条件$$| z-2 i |+| z+1 |=\sqrt{5}$$的点的轨迹是$${{(}{)}}$$

A.椭圆

B.直线

C.线段

D.圆

3、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的减法及其几何意义']

正确率80.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$z+3 \mathrm{i}=1+\mathrm{i}，$$则$${{z}}$$在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4、['复平面内的点、复数及平面向量'， '共轭复数'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']

正确率60.0%设$$3 ( z+\overline{{z}} )+2 ( z-\overline{{z}} )=3-4 \mathrm{i}，$$则复数$${{z}}$$在复平面内对应的点在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5、['共轭复数'， '复数的乘法'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']

正确率60.0%复数$$z=1+\mathrm{i}， \ \overline{{z}}$$为$${{z}}$$的共轭复数，则$$z \bar{z}+z-3=$$（）

A.$${{−}{2}{i}}$$

B.$${{−}{i}}$$

C.$${{i}}$$

D.$${{2}{i}}$$

6、['复数的模'， '复数的减法及其几何意义']

正确率40.0%复数$${{z}_{1}{，}{{z}_{2}}}$$满足$$| z_{1} |=| z_{2} |=1， ~ | z_{1}+z_{2} |=\sqrt{3}$$，则$$| z_{1}-z_{2} |=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

7、['复数的有关概念'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']

正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，$${{a}}$$为实数，复数$${{z}}$$满足$$z+3 i=a+a i$$，若复数$${{z}}$$是纯虚数，则$${{(}{)}}$$

A.$${{a}{=}{3}}$$

B.$${{a}{=}{0}}$$

C.$${{a}{≠}{0}}$$

D.$${{a}{<}{0}}$$

8、['共轭复数'， '复数的减法及其几何意义'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%在复平面内，复数$$\frac{1 0 i} {3+i}$$的共轭复数对应的点坐标为（）

A.$$( 1， \ 3 )$$

B.$$( 1， ~-3 )$$

C.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha} 3 )$$

D.$$( \emph{-1}， \emph{-3} )$$

9、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']

正确率60.0%设复数$${{z}}$$满足$$z+2 \overline{{z}}=3+\mathrm{i} \textup{( i )}$$是虚数单位$${）}$$，则复数$${{z}}$$在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

10、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的加法及其几何意义'， '复数的减法及其几何意义']

正确率60.0%已知在复平面内，向量$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{B C}， \， \， \overrightarrow{A D}$$对应的复数分别为$$- 2+\mathrm{i}， ~ 3-\mathrm{i}， ~ 1+5 \mathrm{i}，$$则$$\overrightarrow{C D}$$对应的复数是（）

A.$${{−}{6}{i}}$$

B.$${{6}{i}}$$

C.$${{−}{5}{i}}$$

D.$${{5}{i}}$$

1. 复数 $$z$$ 满足 $$|z| \leq 1$$，表示 $$z$$ 位于复平面单位圆内或圆上。$$|z - 2i|$$ 表示 $$z$$ 到点 $$2i$$ 的距离。最大值出现在 $$z$$ 位于单位圆最下端时，即 $$z = -i$$，此时距离为 $$| -i - 2i | = 3$$。因此答案为 $$B$$。

2. 设 $$z = x + yi$$，代入条件得： $$ \sqrt{x^2 + (y-2)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{5} $$ 由几何意义可知，$$(x, y)$$ 到 $$(0, 2)$$ 和 $$(-1, 0)$$ 的距离之和为 $$\sqrt{5}$$。计算两点间距离为 $$\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$，因此轨迹是连接两点的线段，答案为 $$C$$。

3. 解方程 $$z + 3i = 1 + i$$ 得 $$z = 1 - 2i$$，对应复平面点为 $$(1, -2)$$，位于第四象限，答案为 $$D$$。

4. 设 $$z = a + bi$$，则 $$\overline{z} = a - bi$$。代入方程： $$3(2a) + 2(2bi) = 3 - 4i$$ 即 $$6a + 4bi = 3 - 4i$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$，$$b = -1$$。对应点为 $$(\frac{1}{2}, -1)$$，位于第四象限，答案为 $$D$$。

5. $$z = 1 + i$$，$$\overline{z} = 1 - i$$。计算： $$z \overline{z} + z - 3 = (1 + i)(1 - i) + (1 + i) - 3 = 2 + 1 + i - 3 = i$$ 答案为 $$C$$。

6. 设 $$z_1 = e^{i\theta_1}$$，$$z_2 = e^{i\theta_2}$$。由 $$|z_1 + z_2| = \sqrt{3}$$ 得： $$|e^{i\theta_1} + e^{i\theta_2}|^2 = 3$$ 展开得 $$2 + 2\cos(\theta_1 - \theta_2) = 3$$，即 $$\cos(\theta_1 - \theta_2) = \frac{1}{2}$$。则： $$|z_1 - z_2|^2 = 2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$$ 答案为 $$A$$。

7. 设 $$z = x + yi$$，代入方程得： $$x + yi + 3i = a + ai$$ 即 $$x = a$$，$$y + 3 = a$$。若 $$z$$ 为纯虚数，则 $$x = 0$$ 且 $$y \neq 0$$，故 $$a = 0$$ 且 $$y = -3 \neq 0$$，答案为 $$B$$。

8. 计算复数： $$\frac{10i}{3 + i} = \frac{10i(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{10 + 30i}{10} = 1 + 3i$$ 其共轭复数为 $$1 - 3i$$，对应点坐标为 $$(1, -3)$$，答案为 $$B$$。

9. 设 $$z = a + bi$$，则 $$\overline{z} = a - bi$$。代入方程： $$a + bi + 2(a - bi) = 3 + i$$ 即 $$3a - bi = 3 + i$$，解得 $$a = 1$$，$$b = -1$$。对应点为 $$(1, -1)$$，位于第四象限，答案为 $$D$$。

10. 设 $$A$$ 为原点，则： $$\overrightarrow{AB} = -2 + i \Rightarrow B = -2 + i$$ $$\overrightarrow{BC} = 3 - i \Rightarrow C = (-2 + i) + (3 - i) = 1$$ $$\overrightarrow{AD} = 1 + 5i \Rightarrow D = 1 + 5i$$ 因此 $$\overrightarrow{CD} = D - C = (1 + 5i) - 1 = 5i$$，答案为 $$D$$。

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