复数的四则运算综合应用-7.2 复数的四则运算知识点专题基础选择题自测题解析-安徽省等高二数学必修,平均正确率64.0%

1、['复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%$${{i}}$$为虚数单位，复数$$Z=\frac{1} {i}+i^{3}=\cline{(}$$）

A.$${{−}{2}{i}}$$

B.$${{2}{i}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$

2、['共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，若复数$$z=i ( \sqrt{3}+i )$$，则$${{z}}$$的共轭复数为$${{(}{)}}$$

A.$$- 1+\sqrt{3} i$$

B.$$- 1-\sqrt{3} i$$

C.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$

3、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%复数$${{z}}$$满足$$( 1+i ) \; z=i+2$$，则$${{z}}$$的虚部为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$$- \frac1 2 i$$

4、['共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%设复数$${{z}}$$满足$$2 ( 1+i ) z=| 1-i | ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，则$$\overline{{z}}=$$

A.$$\frac1 2+\frac i 2$$

B.$$\frac1 2-\frac i 2$$

C.$$\frac{\sqrt2} 4-\frac{\sqrt2} 4 i$$

D.$$\frac{\sqrt2} 4+\frac{\sqrt2} 4 i$$

5、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$z ~ ( \textrm{}-i )^{2 0 1 8}=2+i$$，则$${{z}}$$的共轭数是（）

A.$${{−}{2}{+}{i}}$$

B.$${{−}{2}{−}{i}}$$

C.$${{2}{−}{i}}$$

D.$${{2}{+}{i}}$$

7、['共轭复数'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%设$$z=\frac{1-2 i} {1+i}$$，则$$\overline{{z}}=($$）

A.$$\frac1 2-\frac3 2 i$$

B.$$\frac1 2+\frac3 2 i$$

C.$$- \frac1 2-\frac3 2 i$$

D.$$- \frac{1} {2}+\frac{3} {2} i$$

8、['共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%复数$$z_{1}=2+i， \; z_{2}=-1+i$$，则$$\frac{z_{1}} {z_{2}}$$的共轭复数对应点在$${{(}{)}}$$

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

9、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '方程组的解集'， '复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%设$${{i}}$$是虚数单位，若复数$$\frac{1-3 i} {1+a i}$$是纯虚数，则实数$${{a}}$$的值为

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$- \frac{1} {3}$$

10、['复数的四则运算综合应用']

正确率60.0%已知复数$${{z}}$$满足：$$\frac{z} {1+\mathrm{i}}=\mathrm{i} ($$其中$${{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$，则复数$${{z}}$$的虚部为（）

A.$${{i}}$$

B.$${{−}{i}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{1}}$$

1. 解析：

$$Z = \frac{1}{i} + i^3$$

化简 $$\frac{1}{i}$$：

$$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = -i$$

化简 $$i^3$$：

$$i^3 = -i$$

因此：

$$Z = -i + (-i) = -2i$$

答案为 $$A$$。

2. 解析：

复数 $$z = i(\sqrt{3} + i) = \sqrt{3}i + i^2 = \sqrt{3}i - 1$$

其共轭复数为 $$-1 - \sqrt{3}i$$

答案为 $$B$$。

3. 解析：

解方程 $$(1+i)z = i + 2$$：

$$z = \frac{i + 2}{1 + i} = \frac{(i + 2)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2i + i - i^2}{1 - i^2} = \frac{3 - i}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$$

虚部为 $$-\frac{1}{2}$$

答案为 $$C$$。

4. 解析：

解方程 $$2(1+i)z = |1 - i|$$：

$$|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$

$$z = \frac{\sqrt{2}}{2(1 + i)} = \frac{\sqrt{2}(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)} = \frac{\sqrt{2}(1 - i)}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}i$$

其共轭复数为 $$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}i$$

答案为 $$D$$。

5. 解析：

注意到 $$i^{2018} = (i^4)^{504} \cdot i^2 = 1^{504} \cdot (-1) = -1$$

方程化简为 $$z \cdot (-1) = 2 + i$$，即 $$z = -2 - i$$

其共轭复数为 $$-2 + i$$

答案为 $$A$$。

7. 解析：

计算 $$z = \frac{1 - 2i}{1 + i}$$：

$$z = \frac{(1 - 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i - 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{-1 - 3i}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$$

其共轭复数为 $$-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$$

答案为 $$D$$。

8. 解析：

计算 $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{-1 + i}$$：

$$\frac{2 + i}{-1 + i} = \frac{(2 + i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-2 - 2i - i - i^2}{1 - i^2} = \frac{-1 - 3i}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$$

其共轭复数为 $$-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$$，对应点在第二象限。

答案为 $$B$$。

9. 解析：

设 $$\frac{1 - 3i}{1 + ai}$$ 为纯虚数，则实部为 0：

$$\frac{(1 - 3i)(1 - ai)}{(1 + ai)(1 - ai)} = \frac{1 - ai - 3i + 3ai^2}{1 + a^2} = \frac{1 - 3a - (a + 3)i}{1 + a^2}$$

实部 $$\frac{1 - 3a}{1 + a^2} = 0$$，解得 $$a = \frac{1}{3}$$

答案为 $$C$$。

10. 解析：

解方程 $$\frac{z}{1 + i} = i$$：

$$z = i(1 + i) = i + i^2 = i - 1$$

虚部为 1

答案为 $$C$$。

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