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正确率80.0%已知复数$$\frac{1-\mathrm{i}} {\mathrm{i}}=$$（）
A
A.$${{−}{1}{−}{i}}$$
B.$${{−}{1}{+}{i}}$$
C.$${{1}{+}{i}}$$
D.$${{1}{−}{i}}$$
2、['复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$是虚数单位，$${{z}^{−}}$$是$${{z}}$$的共轭复数，$$z \ ( \mathrm{1+i} ) \ =\frac{1-i} {1+i}$$，则$${{z}^{−}}$$的虚部为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
D.$$- \frac{1} {2} \mathrm{i}$$
3、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知复数$$\frac{a+i} {2+i}=x+y i ( a， ~ x， ~ y \in R )，$$则$$x+2 y=\langle($$）
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$${{−}{1}}$$
4、['复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%$${{i}}$$是虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$( 1+i ) \; \; z=1+3 i$$，则$${{z}{=}{（}}$$）
B
A.$${{1}{+}{2}{i}}$$
B.$${{2}{+}{i}}$$
C.$${{1}{−}{2}{i}}$$
D.$${{2}{−}{i}}$$
5、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%设$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$\left( 1+\sqrt{3} i \right) z=\left(-\sqrt{3}+i \right)^{2}，$$则$${{|}{z}{|}}$$为 （）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法'， '方程组的解集'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%设$${{i}}$$是虚数单位，若复数$$\frac{1-3 i} {1+a i}$$是纯虚数，则实数$${{a}}$$的值为
C
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
7、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%若$$z={\frac{1-i} {( 1-i )^{2}}}$$，则$$| z |=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['复数的有关概念'， '复数的除法']正确率60.0%已知
D
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$${{z}}$$满足$$( 3-4 \mathrm{i} ) z=\mathrm{i}$$（其中$${{i}}$$为虚数单位），则$${{|}{z}{|}{=}}$$（）
D
A.$${{2}{5}}$$
B.$$\frac{1} {2 5}$$
C.$${{5}}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
10、['复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%设$$z=\frac{1-\mathrm{i}} {1+\mathrm{i}}+2 \mathrm{i}$$，则$${{|}{z}{|}{=}}$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
1. 解析：计算复数 $$\frac{1-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$$。
步骤：分子分母同乘以 $$\mathrm{i}$$，得 $$\frac{(1-\mathrm{i})\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2} = \frac{\mathrm{i}-\mathrm{i}^2}{-1} = \frac{\mathrm{i}+1}{-1} = -1-\mathrm{i}$$。
答案：$${{−}{1}{−}{i}}$$，选 A。
2. 解析：求复数 $$z$$ 的共轭复数 $$\overline{z}$$ 的虚部。
步骤：由 $$z(1+\mathrm{i}) = \frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$$，先化简右边：$$\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(1-\mathrm{i})^2}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{-2\mathrm{i}}{2} = -\mathrm{i}$$。
因此，$$z = \frac{-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{-\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{-\mathrm{i}-1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}$$。
其共轭复数 $$\overline{z} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$$，虚部为 $$\frac{1}{2}$$。
答案：$$\frac{1}{2}$$，选 A。
3. 解析：已知复数等式 $$\frac{a+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} = x + y\mathrm{i}$$，求 $$x+2y$$。
步骤：将左边化简为实部和虚部形式：$$\frac{a+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} = \frac{(a+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})} = \frac{2a + a(-\mathrm{i}) + 2\mathrm{i} - \mathrm{i}^2}{4 + 1} = \frac{2a + 1 + (2 - a)\mathrm{i}}{5}$$。
因此，$$x = \frac{2a + 1}{5}$$，$$y = \frac{2 - a}{5}$$，$$x + 2y = \frac{2a + 1 + 4 - 2a}{5} = 1$$。
答案：$$1$$，选 A。
4. 解析：解复数方程 $$(1+\mathrm{i})z = 1 + 3\mathrm{i}$$。
步骤：$$z = \frac{1 + 3\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(1 + 3\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} = \frac{1 - \mathrm{i} + 3\mathrm{i} - 3\mathrm{i}^2}{2} = \frac{4 + 2\mathrm{i}}{2} = 2 + \mathrm{i}$$。
答案：$$2 + \mathrm{i}$$，选 B。
5. 解析：求复数 $$z$$ 的模，已知 $$\left(1+\sqrt{3}\mathrm{i}\right)z = \left(-\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)^2$$。
步骤：先计算右边：$$\left(-\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)^2 = 3 - 2\sqrt{3}\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 2 - 2\sqrt{3}\mathrm{i}$$。
因此，$$z = \frac{2 - 2\sqrt{3}\mathrm{i}}{1 + \sqrt{3}\mathrm{i}}$$。计算模：$$|z| = \frac{|2 - 2\sqrt{3}\mathrm{i}|}{|1 + \sqrt{3}\mathrm{i}|} = \frac{\sqrt{4 + 12}}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{4}{2} = 2$$。
答案：$$2$$，选 D。
6. 解析：求实数 $$a$$ 使得 $$\frac{1-3\mathrm{i}}{1+a\mathrm{i}}$$ 为纯虚数。
步骤：纯虚数条件为实部为零且虚部不为零。化简分数：$$\frac{1-3\mathrm{i}}{1+a\mathrm{i}} = \frac{(1-3\mathrm{i})(1-a\mathrm{i})}{1 + a^2} = \frac{1 - a\mathrm{i} - 3\mathrm{i} + 3a\mathrm{i}^2}{1 + a^2} = \frac{1 - 3a - (a + 3)\mathrm{i}}{1 + a^2}$$。
实部为零：$$1 - 3a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$$；验证虚部不为零：$$-(a + 3) \neq 0$$，成立。
答案：$$\frac{1}{3}$$，选 C。
7. 解析：计算复数 $$z = \frac{1-\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i})^2}$$ 的模。
步骤：化简分母：$$(1-\mathrm{i})^2 = 1 - 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = -2\mathrm{i}$$，因此 $$z = \frac{1-\mathrm{i}}{-2\mathrm{i}} = \frac{(1-\mathrm{i})\mathrm{i}}{2} = \frac{\mathrm{i} + 1}{2}$$。
模为 $$|z| = \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
答案：$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 B。
8. 解析：求复数 $$\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$$ 的虚部。
步骤：化简分数：$$\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{\mathrm{i} + 1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$$。
虚部为 $$\frac{1}{2}$$。
答案：$$\frac{1}{2}$$，选 D。
9. 解析：求复数 $$z$$ 的模，已知 $$(3-4\mathrm{i})z = \mathrm{i}$$。
步骤：$$z = \frac{\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}$$，模为 $$|z| = \frac{|\mathrm{i}|}{|3-4\mathrm{i}|} = \frac{1}{5}$$。
答案：$$\frac{1}{5}$$，选 D。
10. 解析：计算复数 $$z = \frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} + 2\mathrm{i}$$ 的模。
步骤：先化简分数部分：$$\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(1-\mathrm{i})^2}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{-2\mathrm{i}}{2} = -\mathrm{i}$$。
因此，$$z = -\mathrm{i} + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}$$，模为 $$|z| = 1$$。
答案：$$1$$，选 C。