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正确率40.0%对于两个复数$$\alpha=\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} i， \， \， \， \beta=-\frac{1} {2}-\frac{\sqrt{3}} {2} i.$$有下列四个结论：
$${①{α}{β}{=}{1}}$$；
$$\odot{\frac{\alpha} {\beta}}=1$$；
$$\odot| \frac{\alpha} {\beta} |={\bf1}$$；
$${④{{α}^{2}}{+}{{β}^{2}}{=}{1}}$$
其中正确的个数为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['复平面内的点、复数及平面向量'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%已知$${{z}{=}{(}{1}{−}{i}{)}{(}{1}{+}{2}{i}{)}{，}{i}}$$是虚数单位，则$${{z}{¯}}$$在复平面内对应的点的坐标为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{1}{，}{−}{1}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{−}{1}{)}}$$
4、['函数与数学文化结合'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%欧拉公式$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\operatorname{c o s} x+\mathrm{i s i n} x \mathrm{~ ( ~ i ~}$$为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，$$\frac{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}}} {\mathrm{e}^{\frac{\pi} {4} \mathrm{i}}}$$表示的复数在复平面中位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率80.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}{=}{1}{+}{i}}$$，则$${{z}^{−}}$$的实部与虚部之差为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
6、['复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$$z=\frac{1-i} {1+i}-\frac{1+i} {1-i}$$，则复数$${{z}}$$的虚部是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{2}{i}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{i}}$$
7、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的有关概念'， '复数的模'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若复数$$z=1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{2 0 1 9}+\frac{| 3-4 i |} {3+4 i}$$，则复数$${{z}}$$对应的点在第（）象限
D
A.一
B.二
C.三
D.四
8、['复数的有关概念'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%设$${{a}}$$为$$\mathrm{i}^{-1}$$的虚部，$${{b}}$$为$${（{1}{+}{i}{）^{2}}}$$的实部，则$${{a}{+}{b}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{0}}$$
9、['复数的有关概念'， '共轭复数'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%复数$$\frac{i} {1+3 i}$$的共轭复数的虚部为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {1 0}$$
B.$$\frac{3} {1 0}$$
C.$$- \frac{1} {1 0}$$
D.$$- \frac{3} {1 0}$$
1. 对于复数$$ \alpha=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $$和$$ \beta=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $$，逐一验证四个结论：
综上，只有③正确，答案为 $$ \boxed{A} $$。
3. 复数 $$ z=(1-i)(1+2i) = 1+2i-i-2i^2 = 1+i+2 = 3+i $$，其共轭复数 $$ \overline{z} = 3-i $$，对应坐标为 $$ (3, -1) $$，答案为 $$ \boxed{D} $$。
4. 欧拉公式计算 $$ \frac{e^{\pi i}}{e^{\frac{\pi}{4}i}} = e^{\pi i - \frac{\pi}{4}i} = e^{\frac{3\pi}{4}i} = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} $$，位于第二象限，答案为 $$ \boxed{B} $$。
5. 复数 $$ z=1+i $$ 的共轭复数 $$ \overline{z}=1-i $$，其实部为 1，虚部为 -1，差为 $$ 1-(-1)=2 $$，答案为 $$ \boxed{D} $$。
6. 复数 $$ z=\frac{1-i}{1+i}-\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)} - \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{-2i}{2} - \frac{2i}{2} = -i - i = -2i $$，虚部为 -2，答案为 $$ \boxed{A} $$。
7. 复数 $$ z $$ 的求和部分 $$ 1+i+i^2+\cdots+i^{2019} $$ 是等比数列，和为 $$ \frac{1-i^{2020}}{1-i} = \frac{1-1}{1-i} = 0 $$。第二部分 $$ \frac{|3-4i|}{3+4i} = \frac{5}{3+4i} = \frac{5(3-4i)}{25} = \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i $$。因此 $$ z = \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i $$，位于第四象限，答案为 $$ \boxed{D} $$。
8. $$ i^{-1} = -i $$ 的虚部为 $$ a=-1 $$；$$ (1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i $$ 的实部为 $$ b=0 $$。因此 $$ a+b=-1 $$，答案为 $$ \boxed{A} $$。
9. 复数 $$ \frac{i}{1+3i} = \frac{i(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{3+i}{10} = \frac{3}{10}+\frac{1}{10}i $$，其共轭复数为 $$ \frac{3}{10}-\frac{1}{10}i $$，虚部为 $$ -\frac{1}{10} $$，答案为 $$ \boxed{C} $$。
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