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正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$${{z}}$$满足$$z ( 1+2 \mathrm{i} )=1+\mathrm{i}^{2 0 2 1}，$$则$${{z}}$$的共轭复数$${{z}{¯}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{3-\mathrm{i}} {5}$$
B.$$\frac{3+\mathrm{i}} {5}$$
C.$$\frac{-3-\mathrm{i}} {5}$$
D.$$\frac{-3+\mathrm{i}} {5}$$
2、['复数的分类'， '复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$$z=a+\frac{1 0 \mathrm{i}} {3-\mathrm{i}} ( a \in{\bf R} )，$$若$${{z}}$$为纯虚数，则$$| a-2 \mathrm{i} |=$$（）
B
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['共轭复数'， '复数的除法']正确率60.0%复数$$\frac{5} {2-i} < i$$为复数单位）的共轭复数是（）
A
A.$${{2}{−}{i}}$$
B.$${{2}{+}{i}}$$
C.$${{−}{2}{+}{i}}$$
D.$${{−}{2}{−}{i}}$$
4、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%已知$$\frac{a+i} {i}=b+i \ ( \ a， \ b \in R ) \enspace，$$其中$${{i}}$$为虚数单位，则$$a^{2}+b^{2}=~ ($$）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、['复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，则复数$$\frac{1+2 i} {2-i} ~ ($$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{i}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{i}}$$
6、['复数的模'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%已知$$z=a i \ ( a \in R ) \， \， \，， \， \， \， \， \， ( \， 1+z ) \， \， \， \， ( \， 1+i )$$是实数，则$$| z+2 |=~ ($$）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{5}}$$
7、['复数的模'， '共轭复数'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$$( 1-i ) z=-2 i$$，其中$${{i}}$$为虚数单位，则复数$${\sqrt {2}}$$的共轭复数$${{z}{¯}}$$的模为（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
8、['复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$$z \ ( \textbf{1}-2 i ) \ =i$$，则$${{z}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{2} {5}+\frac{1} {5} i$$
B.$$- \frac{2} {5}+\frac{1} {5} i$$
C.$$\frac{1} {5}+\frac{2} {5} i$$
D.$$\frac1 5-\frac2 5 i$$
9、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%设$${{i}}$$为虚数单位，复数$$\frac{a-i} {i}=b+i ( a， \， \， b \in R )，$$则$$a-b=($$）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{3}}$$
10、['复数的模'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$$( 1 \!+\! z ) ( 1 \!+\! \mathrm{i} ) \!=\! 1 \!+\! 2 \mathrm{i}， \， \， \mathrm{i}$$是虚数单位，则$${{|}{z}{{|}{=}}}$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
1. 解析：
已知 $$z(1+2i) = 1 + i^{2021}$$，求 $$z$$ 的共轭复数 $$\overline{z}$$。
步骤：
1. 计算 $$i^{2021}$$：注意到 $$i$$ 的幂次循环周期为 4，$$2021 \mod 4 = 1$$，因此 $$i^{2021} = i$$。
2. 方程变为 $$z(1+2i) = 1 + i$$，解得 $$z = \frac{1 + i}{1 + 2i}$$。
3. 有理化分母：$$z = \frac{(1 + i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{1 - 2i + i - 2i^2}{1 - (2i)^2} = \frac{3 - i}{5}$$。
4. 共轭复数 $$\overline{z} = \frac{3 + i}{5}$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
2. 解析：
已知复数 $$z = a + \frac{10i}{3 - i}$$ 为纯虚数，求 $$|a - 2i|$$。
步骤：
1. 化简 $$\frac{10i}{3 - i}$$：有理化分母得 $$\frac{10i(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{30i + 10i^2}{10} = -1 + 3i$$。
2. 因此 $$z = a - 1 + 3i$$，由于 $$z$$ 为纯虚数，实部为 0，即 $$a - 1 = 0$$，故 $$a = 1$$。
3. 计算 $$|a - 2i| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
3. 解析：
求复数 $$\frac{5}{2 - i}$$ 的共轭复数。
步骤：
1. 有理化分母：$$\frac{5(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{10 + 5i}{5} = 2 + i$$。
2. 共轭复数为 $$2 - i$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$。
4. 解析：
已知 $$\frac{a + i}{i} = b + i$$，求 $$a^2 + b^2$$。
步骤：
1. 化简 $$\frac{a + i}{i} = \frac{(a + i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-ai - i^2}{1} = 1 - ai$$。
2. 因此 $$1 - ai = b + i$$，比较实部和虚部得 $$b = 1$$，$$-a = 1$$，即 $$a = -1$$。
3. 计算 $$a^2 + b^2 = (-1)^2 + 1^2 = 2$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$。
5. 解析：
求复数 $$\frac{1 + 2i}{2 - i}$$ 的值。
步骤：
1. 有理化分母：$$\frac{(1 + 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2 + i + 4i + 2i^2}{5} = \frac{5i}{5} = i$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
6. 解析：
已知 $$z = ai$$，且 $$(1 + z)(1 + i)$$ 为实数，求 $$|z + 2|$$。
步骤：
1. 展开 $$(1 + z)(1 + i) = (1 + ai)(1 + i) = 1 + i + ai + ai^2 = (1 - a) + (1 + a)i$$。
2. 由于结果为实数，虚部为 0，即 $$1 + a = 0$$，故 $$a = -1$$，$$z = -i$$。
3. 计算 $$|z + 2| = |-i + 2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
7. 解析：
已知 $$(1 - i)z = -2i$$，求 $$\overline{z}$$ 的模。
步骤：
1. 解得 $$z = \frac{-2i}{1 - i}$$，有理化分母得 $$z = \frac{-2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-2i - 2i^2}{2} = 1 - i$$。
2. 共轭复数 $$\overline{z} = 1 + i$$，其模为 $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$。
8. 解析：
已知 $$z(1 - 2i) = i$$，求 $$z$$。
步骤：
1. 解得 $$z = \frac{i}{1 - 2i}$$，有理化分母得 $$z = \frac{i(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{i + 2i^2}{5} = \frac{-2 + i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
9. 解析：
已知 $$\frac{a - i}{i} = b + i$$，求 $$a - b$$。
步骤：
1. 化简 $$\frac{a - i}{i} = \frac{(a - i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-ai + i^2}{1} = -1 - ai$$。
2. 因此 $$-1 - ai = b + i$$，比较得 $$b = -1$$，$$-a = 1$$，即 $$a = -1$$。
3. 计算 $$a - b = -1 - (-1) = 0$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$。
10. 解析：
已知 $$(1 + z)(1 + i) = 1 + 2i$$，求 $$|z|$$。
步骤：
1. 解得 $$1 + z = \frac{1 + 2i}{1 + i}$$，有理化分母得 $$\frac{(1 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + 2i - 2i^2}{2} = \frac{3 + i}{2}$$。
2. 因此 $$z = \frac{3 + i}{2} - 1 = \frac{1 + i}{2}$$。
3. 模为 $$\left|\frac{1 + i}{2}\right| = \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$。