1、['共轭复数'， '复数的乘法']正确率80.0%已知$$\frac{\overline{{z}}} {1+\mathrm{i}}=2+\mathrm{i}，$$则复数$${{z}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{+}{3}{i}}$$
B.$${{1}{−}{3}{i}}$$
C.$${{3}{+}{i}}$$
D.$${{3}{−}{i}}$$
2、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$${{z}{i}{=}{3}{−}{5}{i}}$$，则$${{z}}$$的虚部为（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{−}{5}}$$
3、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%设复数$${{z}}$$满足$$\frac{1+z} {1-z}=\mathrm{i}，$$其中$${{i}}$$为虚数单位，则复数$${{z}}$$的虚部是（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['复数的乘法']正确率60.0%复数$${{i}{（}{3}{+}{4}{i}{）}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{4}{+}{3}{i}}$$
B.$${{4}{+}{3}{i}}$$
C.$${{3}{−}{4}{i}}$$
D.$${{3}{+}{4}{i}}$$
5、['复数的分类'， '复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$$x=\frac{a-2 \mathrm{i}} {1-\mathrm{i}}$$（$${{a}{∈}{R}}$$）是纯虚数，则$${{1}{+}{a}{i}}$$的虚部为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{i}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{2}{i}}$$
6、['复数的模'， '共轭复数'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率80.0%已知复数$$z=\frac{3} {1+2 i} \langle i$$是虚数单位），则$${{z}}$$的共轭复数$$\overline{{z}}=($$）
D
A.$$\frac1 5-\frac2 5 i$$
B.$$\frac{1} {5}+\frac{2} {5} i$$
C.$$\frac{3} {5}-\frac{6} {5} i$$
D.$$\frac{3} {5}+\frac{6} {5} i$$
7、['复数的有关概念'， '复数的模'， '共轭复数'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%已知复数$${{z}}$$的实部为$${{a}{（}{a}{<}{0}{）}}$$，虚部为$${{1}}$$，模长为$$2， \; \; \overline{{z}}$$是$${{z}}$$的共轭复数，则$$\frac{1+\sqrt{3} i} {\overline{{z}}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3+i} {2}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
D.$$- \frac{\sqrt{3}+i} {2}$$
8、['复数的有关概念'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%复数$$\frac{2+i} {1-i}-\frac{2-i} {1+i}$$的虚部为（）
C
A.$${{3}{i}}$$
B.$${{−}{3}{i}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
9、['复数相等的条件及应用'， '复数的乘法']正确率60.0%设实数$${{m}{，}{n}}$$满足$$m+n i=\frac{3+5 i} {1-i}$$，则$${{2}{m}{+}{n}{=}}$$
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['复数的有关概念'， '复数的乘法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，$${{m}{∈}{R}}$$，复数$${{z}{=}{{(}{m}{+}{i}{)}}{{(}{2}{+}{i}{)}}}$$为实数，则$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
1. 设$$z = a + b\mathrm{i}$$，则$$\overline{z} = a - b\mathrm{i}$$。根据题意：
$$\frac{a - b\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = 2 + \mathrm{i}$$
两边同乘$$1 + \mathrm{i}$$得：
$$a - b\mathrm{i} = (2 + \mathrm{i})(1 + \mathrm{i}) = 2 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 1 + 3\mathrm{i}$$
比较实部和虚部得$$a = 1$$，$$-b = 3$$，即$$b = -3$$。因此$$z = 1 - 3\mathrm{i}$$，选B。
2. 设$$z = a + b\mathrm{i}$$，则$$z\mathrm{i} = -b + a\mathrm{i} = 3 - 5\mathrm{i}$$。比较实部和虚部得：
$$-b = 3$$，$$a = -5$$
因此$$z$$的虚部为$$b = -3$$，选A。
3. 解方程$$\frac{1 + z}{1 - z} = \mathrm{i}$$：
$$1 + z = \mathrm{i}(1 - z)$$
展开得$$1 + z = \mathrm{i} - \mathrm{i}z$$
整理得$$z + \mathrm{i}z = \mathrm{i} - 1$$
解得$$z = \frac{\mathrm{i} - 1}{1 + \mathrm{i}}$$
分子分母同乘$$1 - \mathrm{i}$$化简：
$$z = \frac{(\mathrm{i} - 1)(1 - \mathrm{i})}{1 + 1} = \frac{\mathrm{i} - \mathrm{i}^2 - 1 + \mathrm{i}}{2} = \frac{2\mathrm{i}}{2} = \mathrm{i}$$
因此$$z$$的虚部为1，选A。
4. 直接计算复数乘法：
$$\mathrm{i}(3 + 4\mathrm{i}) = 3\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2 = 3\mathrm{i} - 4 = -4 + 3\mathrm{i}$$
选A。
5. 化简复数$$x$$：
$$x = \frac{a - 2\mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} \cdot \frac{1 + \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(a - 2\mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{2} = \frac{a + a\mathrm{i} - 2\mathrm{i} - 2\mathrm{i}^2}{2} = \frac{a + 2 + (a - 2)\mathrm{i}}{2}$$
因为$$x$$是纯虚数，实部为0，虚部不为0：
$$\frac{a + 2}{2} = 0$$，解得$$a = -2$$
$$1 + a\mathrm{i} = 1 - 2\mathrm{i}$$的虚部为$$-2$$，选C。
6. 计算复数$$z$$：
$$z = \frac{3}{1 + 2\mathrm{i}} \cdot \frac{1 - 2\mathrm{i}}{1 - 2\mathrm{i}} = \frac{3(1 - 2\mathrm{i})}{5} = \frac{3}{5} - \frac{6}{5}\mathrm{i}$$
其共轭复数为$$\overline{z} = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}\mathrm{i}$$，选D。
7. 设$$z = a + \mathrm{i}$$，模长为2：
$$\sqrt{a^2 + 1} = 2$$，解得$$a = -\sqrt{3}$$（因为$$a < 0$$）
$$\overline{z} = -\sqrt{3} - \mathrm{i}$$
计算$$\frac{1 + \sqrt{3}\mathrm{i}}{\overline{z}} = \frac{1 + \sqrt{3}\mathrm{i}}{-\sqrt{3} - \mathrm{i}} \cdot \frac{-\sqrt{3} + \mathrm{i}}{-\sqrt{3} + \mathrm{i}} = \frac{(1 + \sqrt{3}\mathrm{i})(-\sqrt{3} + \mathrm{i})}{3 + 1} = \frac{-\sqrt{3} + \mathrm{i} - 3\mathrm{i} + \sqrt{3}\mathrm{i}^2}{4} = \frac{-2\sqrt{3} - 2\mathrm{i}}{4} = -\frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}$$
选D。
8. 分别计算两个分数：
$$\frac{2 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} \cdot \frac{1 + \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(2 + \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{2} = \frac{2 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i} + \mathrm{i}^2}{2} = \frac{1 + 3\mathrm{i}}{2}$$
$$\frac{2 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} \cdot \frac{1 - \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} = \frac{(2 - \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{2} = \frac{2 - 2\mathrm{i} - \mathrm{i} + \mathrm{i}^2}{2} = \frac{1 - 3\mathrm{i}}{2}$$
相减得$$\frac{1 + 3\mathrm{i}}{2} - \frac{1 - 3\mathrm{i}}{2} = 3\mathrm{i}$$，虚部为3，选C。
9. 计算复数除法：
$$\frac{3 + 5\mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} \cdot \frac{1 + \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(3 + 5\mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{2} = \frac{3 + 3\mathrm{i} + 5\mathrm{i} + 5\mathrm{i}^2}{2} = \frac{-2 + 8\mathrm{i}}{2} = -1 + 4\mathrm{i}$$
因此$$m = -1$$，$$n = 4$$，$$2m + n = 2$$，选B。
10. 展开复数$$z$$：
$$z = (m + \mathrm{i})(2 + \mathrm{i}) = 2m + m\mathrm{i} + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = (2m - 1) + (m + 2)\mathrm{i}$$
因为$$z$$为实数，虚部为0：
$$m + 2 = 0$$，解得$$m = -2$$，选D。
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