复数的除法-7.2 复数的四则运算知识点专题基础自测题答案-浙江省等高二数学必修,平均正确率62.0%

正确率60.0%若$${{a}{∈}{R}{，}}$$则“复数$$z=\frac{3-2 a \mathrm{i}} {\mathrm{i}}$$的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“$${{a}{>}{0}}$$”的（）

C

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，复数$$z=\frac{a-2 \mathrm{i}} {1-\mathrm{i}} ( a \in{\bf R} )$$是纯虚数，则$${{1}{+}{a}{i}}$$的虚部为（）

C

A.$${{2}}$$

B.$${{2}{i}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{2}{i}}$$

正确率60.0%已知复数$$z=-1+i$$，则$$\frac{z+2} {z^{2}+z}=($$）

A

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{i}}$$

D.$${{i}}$$

正确率60.0%$$\frac{1+2 \mathrm{i}} {1-2 \mathrm{i}}=$$（）

D

A.$$- \frac{4} {5}-\frac{3} {5} \mathrm{i}$$

B.$$- \frac{4} {5}+\frac{3} {5} \mathrm{i}$$

C.$$- \frac{3} {5}-\frac{4} {5} \mathrm{i}$$

D.$$- \frac{3} {5}+\frac{4} {5} \mathrm{i}$$

正确率60.0%已知复数$$z=\frac{1+i} {1-i} ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，则$$z^{2 0 1 8}$$的共轭复数为

A

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{i}}$$

D.$${{i}}$$

正确率60.0%设$${{i}}$$是虚数单位，则复数$$\frac{1-i^{2 0 1 7}} {1+i}$$的虚部为（）

B

A.$${{0}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{i}}$$

正确率60.0%若复数$${{z}}$$满足$$z \mathrm{i}=1-\mathrm{i} \mathrm{( i}$$为虚数单位），则其共轭复数$${{z}^{−}}$$的虚部为（）

D

A.$${{−}{i}}$$

B.$${{i}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$

正确率60.0%复数$${{z}}$$满足$$z \left( 1+\mathrm{i} \right)=\frac{2+5 \mathrm{i}} {\mathrm{i}}$$，则复数$${{z}}$$的共轭复数的虚部为

A

A.$$\frac{7} {2}$$

B.$$- \frac{7} {2} \mathrm{i}$$

C.$$- \frac{7} {2}$$

D.$$\frac{7} {2} \mathrm{i}$$

正确率80.0%设$${{i}}$$是虚数单位，则$$\left| \frac{1+3 \mathrm{i}} {2-\mathrm{i}} \right|=$$（）

A

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

正确率60.0%设复数$${{Z}}$$满足$$( 3-i ) \， \， \， Z=1-i$$，则$$| Z |=\alpha$$）

B

A.$$\frac{\sqrt{2}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

1. 复数 $$z=\frac{3-2 a \mathrm{i}}{\mathrm{i}}$$ 可以化简为： $$z = \frac{3}{\mathrm{i}} - \frac{2a \mathrm{i}}{\mathrm{i}} = -3\mathrm{i} - 2a$$ 其共轭复数为 $$\overline{z} = -2a + 3\mathrm{i}$$。对应点在第二象限的条件是实部小于零且虚部大于零： $$-2a < 0 \quad \text{且} \quad 3 > 0$$ 即 $$a > 0$$。因此条件是充要条件，答案为 C。

2. 复数 $$z=\frac{a-2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$$ 化简： $$z = \frac{(a-2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})} = \frac{a + a\mathrm{i} - 2\mathrm{i} + 2}{2} = \frac{(a+2) + (a-2)\mathrm{i}}{2}$$ 因为是纯虚数，实部为零且虚部不为零： $$a+2=0 \quad \text{且} \quad a-2 \neq 0$$ 解得 $$a=-2$$。则 $$1 + a\mathrm{i} = 1 - 2\mathrm{i}$$ 的虚部为 $$-2$$，答案为 C。

3. 复数 $$z=-1+\mathrm{i}$$，计算 $$\frac{z+2}{z^{2}+z}$$： $$z+2 = 1 + \mathrm{i}$$ $$z^2 + z = (-1+\mathrm{i})^2 + (-1+\mathrm{i}) = (1 - 2\mathrm{i} -1) -1 + \mathrm{i} = -2\mathrm{i} -1 + \mathrm{i} = -1 - \mathrm{i}$$ 所以 $$\frac{z+2}{z^2+z} = \frac{1+\mathrm{i}}{-1-\mathrm{i}} = -1$$ 答案为 A。

4. 计算 $$\frac{1+2 \mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}$$： 分子分母同乘以 $$1+2\mathrm{i}$$： $$\frac{(1+2\mathrm{i})^2}{1-(2\mathrm{i})^2} = \frac{1 + 4\mathrm{i} -4}{1+4} = \frac{-3 + 4\mathrm{i}}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\mathrm{i}$$ 答案为 D。

5. 复数 $$z=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$$ 化简： $$z = \frac{(1+\mathrm{i})^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})} = \frac{1 + 2\mathrm{i} -1}{2} = \mathrm{i}$$ 则 $$z^{2018} = \mathrm{i}^{2018} = (\mathrm{i}^4)^{504} \cdot \mathrm{i}^2 = 1^{504} \cdot (-1) = -1$$ 其共轭复数仍为 $$-1$$，答案为 A。

6. 计算 $$\frac{1-\mathrm{i}^{2017}}{1+\mathrm{i}}$$： 注意到 $$\mathrm{i}^{2017} = \mathrm{i}^{4 \times 504 +1} = \mathrm{i}$$，所以： $$\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(1-\mathrm{i})^2}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{1 - 2\mathrm{i} -1}{2} = -\mathrm{i}$$ 虚部为 $$-1$$，答案为 B。

7. 复数 $$z$$ 满足 $$z \mathrm{i}=1-\mathrm{i}$$，解得： $$z = \frac{1-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = -1 - \mathrm{i}$$ 其共轭复数 $$\overline{z} = -1 + \mathrm{i}$$ 的虚部为 $$1$$，答案为 D。

8. 复数 $$z$$ 满足 $$z(1+\mathrm{i}) = \frac{2+5\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$$，化简右边： $$\frac{2+5\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = \frac{(2+5\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{1} = -2\mathrm{i} +5 = 5 -2\mathrm{i}$$ 所以 $$z = \frac{5-2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(5-2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} = \frac{5 -5\mathrm{i} -2\mathrm{i} -2}{2} = \frac{3 -7\mathrm{i}}{2}$$ 其共轭复数 $$\overline{z} = \frac{3}{2} + \frac{7}{2}\mathrm{i}$$ 的虚部为 $$\frac{7}{2}$$，答案为 A。

9. 计算 $$\left| \frac{1+3 \mathrm{i}}{2-\mathrm{i}} \right|$$： 模的性质 $$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}$$，所以： $$\left| 1+3\mathrm{i} \right| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$ $$\left| 2-\mathrm{i} \right| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$$ 因此 $$\left| \frac{1+3\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}} \right| = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$$，答案为 A。

10. 复数 $$Z$$ 满足 $$(3-\mathrm{i})Z = 1-\mathrm{i}$$，解得： $$Z = \frac{1-\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}} = \frac{(1-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})}{(3-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})} = \frac{3 + \mathrm{i} -3\mathrm{i} +1}{10} = \frac{4 -2\mathrm{i}}{10} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}\mathrm{i}$$ 其模为： $$|Z| = \sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(-\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ 答案为 B。