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正确率40.0%对于复数$$z_{1}， z_{2}， z_{3}$$，给出下列三个运算式子：$$( 1 ) ~ | z_{1}+z_{2} | \leqslant| z_{1} |+| z_{2} |， ~ ~ ( 2 ) ~ | z_{1} \cdot z_{2} | \leqslant| z_{1} | \cdot| z_{2} |， ~ ~ ( 3 ) ~ ~ ( z_{1} \cdot z_{2} ) ~ \cdot z_{3}=z_{1} \cdot( z_{2} \cdot z_{3} )$$．其中正确的个数是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '利用诱导公式求值'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率40.0%在复平面内，复数$$z=a+b \mathrm{i} ( a \in\mathbf{R}， b \in\mathbf{R} )$$对应的向量为$$\overrightarrow{O Z} ( O$$为坐标原点)，设$$| \overrightarrow{O Z} |=r，$$以射线$${{O}{x}}$$为始边$${，{O}{Z}}$$为终边逆时针旋转的角为$${{θ}{，}}$$则$$z=r ( \mathrm{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta)，$$法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若$$z_{1}=r_{1} ( \operatorname{c o s} \theta_{1}+\mathrm{i s i n} \theta_{1} )，$$$$z_{2}=r_{2} ( \mathrm{c o s} \theta_{2}+\mathrm{i s i n} \theta_{2} )，$$则$${{z}_{1}{{z}_{2}}{=}}$$$$r_{1} r_{2} [ \operatorname{c o s} ( \theta_{1}+\theta_{2} )+\mathrm{i s i n} ( \theta_{1}+\theta_{2} ) ]$$.由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式：
$$z^{n}=[ r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta) ]^{n}$$$$= r^{n} ( \mathrm{c o s} n \theta+\mathrm{i s i n} n \theta)$$，则$$(-1+\sqrt{3} \mathrm{i} )^{1 0}=$$（）
D
A.$$1 0 2 4-1 0 2 4 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
B.$$- 1 0 2 4+1 0 2 4 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
C.$$5 1 2-5 1 2 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
D.$$- 5 1 2+5 1 2 \sqrt3 \mathrm{i}$$
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$- \frac1 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {3} \right)$$的一个三角形式是（）
B
A.$$\frac1 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{5 \pi} 3+\mathrm{i s i n} \frac{5 \pi} 3 \right)$$
B.$$\frac1 2 \left( \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{4 \pi} {3} \right)$$
C.$${\frac{1} {2}} \biggl( \mathrm{c o s} {\frac{5 \pi} {6}}+\mathrm{i s i n} {\frac{5 \pi} {6}} \biggr)$$
D.$$\frac1 2 \biggl( \operatorname{c o s} \frac{1 1 \pi} {6}+\mathrm{i s i n} \frac{1 1 \pi} {6} \biggr)$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$z=1-\mathrm{c o s} \theta-\mathrm{i s i n} \theta( \theta\in[ 0， \， \， 2 \pi) )$$的三角形式是（）
C
A.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta+\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta+\pi} {2} \biggr)$$
B.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
C.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta-\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta-\pi} {2} \biggr)$$
D.$$z=2 \mathrm{c o s} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
5、['复数三角形式的除法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%$$2 \div[ 2 ( \mathrm{c o s} 6 0^{\circ}+\mathrm{i s i n} 6 0^{\circ} ) ]=$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i}$$
B.$$\frac1 2-\frac{\sqrt3} 2 \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若$${{i}}$$为虚数单位，复数$$( 3+2 i ) \， i$$等于（）
B
A.$$- 2-3 i$$
B.$$- 2+3 i$$
C.$${{2}{−}{3}{i}}$$
D.$${{2}{+}{3}{i}}$$
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '辐角的主值']正确率60.0%若复数$$z=( a+\mathrm{i} )^{2}$$的辐角的主值是$$\frac{3 \pi} {2}，$$则实数$${{a}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
8、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%将复数$${{1}{+}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O M}$$绕原点按逆时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$，得到的向量为$$\overrightarrow{O M_{1}}$$，那么$$\overrightarrow{O M_{1}}$$对应的复数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{i}}$$
B.$${\sqrt {2}{i}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 i$$
D.$$\sqrt2+\sqrt2 i$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+\mathrm{b i} ( a， b \in R， i )$$为虚数单位$${{)}}$$都可以$$z=r ( \operatorname{c o s} ~ \theta+i \operatorname{s i n} ~ \theta)$$的形式，其中$$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}， 0 \leqslant\theta< 2 \pi)$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac{2 i} {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%在复平面内，复数$$z=a+b i \left( a \in R， b \in R \right)$$对应向量$$\overrightarrow{O Z} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，设$$| \overrightarrow{O Z} |=r$$，以射线$${{O}{x}}$$为始边，$${{O}{Z}}$$为终边逆时针旋转的角为$${{θ}}$$，则$$z=r \left( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta\right)$$，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：$$z_{1}=r_{1} \left( \operatorname{c o s} \theta_{1}+i \operatorname{s i n} \theta_{1} \right)$$，$$z_{2}=r_{2} \left( \operatorname{c o s} \theta_{2}+i \operatorname{s i n} \theta_{2} \right)$$，则$$z_{1} z_{2}=r_{1} r_{2} \left[ \operatorname{c o s} ( \theta_{1}+\theta_{2} )+i \operatorname{s i n} ( \theta_{1}+\theta_{2} ) \right]$$，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：$$z^{n}=\left[ r \left( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta\right) \right]^{n}=r^{n} \left( \operatorname{c o s} n \theta+i \operatorname{s i n} n \theta\right)$$，则$$\left(-1+\sqrt{3} i \right)^{1 0}=( ~ ~ ~ )$$
D
A.$$1 0 2 4-1 0 2 4 \sqrt{3} i$$
B.$$- 1 0 2 4+1 0 2 4 \sqrt{3} i$$
C.$$5 1 2-5 1 2 \sqrt{3} i$$
D.$$- 5 1 2+5 1 2 \sqrt3 i$$
1. 解析：
(1) $$| z_{1}+z_{2} | \leqslant| z_{1} |+| z_{2} |$$ 是正确的，这是三角不等式。
(2) $$| z_{1} \cdot z_{2} | \leqslant| z_{1} | \cdot| z_{2} |$$ 是错误的，实际上 $$| z_{1} \cdot z_{2} |=| z_{1} | \cdot| z_{2} |$$。
(3) $$( z_{1} \cdot z_{2} ) \cdot z_{3}=z_{1} \cdot( z_{2} \cdot z_{3} )$$ 是正确的，这是复数乘法的结合律。
因此，正确的个数是 2 个，答案为 $$C$$。
2. 解析：
模长 $$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$$，幅角 $$\theta=\frac{2\pi}{3}$$。
根据棣莫弗定理，$$(-1+\sqrt{3} i)^{10}=2^{10} \left( \cos \left(10 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)+i \sin \left(10 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) \right)$$。
计算得 $$10 \cdot \frac{2\pi}{3}=\frac{20\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}$$，因此结果为 $$1024 \left( \cos \frac{2\pi}{3}+i \sin \frac{2\pi}{3} \right)=-512+512\sqrt{3}i$$。
答案为 $$D$$。
3. 解析：
答案为 $$B$$。
4. 解析：
进一步表示为 $$2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \cos \left(\frac{\pi-\theta}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi-\theta}{2}\right) \right)$$。
答案为 $$B$$。
5. 解析：
结果为 $$\frac{2}{2} (\cos (-60^\circ)+i \sin (-60^\circ))=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$。
答案为 $$B$$。
6. 解析：
答案为 $$B$$。
7. 解析：
因此 $$a^2-1=0$$ 且 $$2a<0$$，解得 $$a=-1$$。
答案为 $$B$$。
8. 解析：
答案为 $$B$$。
9. 解析：
其辐角主值为 $$\frac{5\pi}{6}$$。
答案为 $$D$$。
10. 解析：