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正确率40.0%任何一个复数$${{z}{=}{a}{+}{b}{i}}$$（其中$${{a}{，}{b}{∈}{R}}$$，$${{i}}$$为虚数单位）都可以表示成$${{z}{=}{r}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{{i}{s}{i}{n}}{θ}{)}}$$（其中$${{r}{⩾}{0}}$$，$${{θ}{∈}{R}}$$）的形式，通常称之为复数$${{z}}$$的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：$${{[}{r}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{{i}{s}{i}{n}}{θ}{)}{]}^{n}}$$$${{=}{{r}^{n}}{{c}{o}{s}}{n}{θ}{+}{i}{s}{i}{n}{n}{θ}{，}{{(}{{n}{∈}{{N}_{+}}}{)}}}$$，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，$${{“}}$$$${{n}}$$为偶数$${{”}}$$是$${{“}}$$复数$$\left( \operatorname{c o s} \frac\pi4+\mathrm{i s i n} \frac\pi4 \right)^{m}$$为纯虚数的是（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['利用诱导公式化简'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%欧拉$${（{L}{e}{o}{n}{h}{a}{r}{d}{E}{u}{l}{e}{r}}$$，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x \left( i \right)$$为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为$${{“}}$$数学中的天桥$${{”}}$$，根据此公式可知，$$e^{-4 i}$$表示的复数在复平面中位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$4 \left( \mathrm{s i n} \frac{3 \pi} {4}+\mathrm{i c o s} \frac{3 \pi} {4} \right)$$的代数形式是（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}{+}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
C.$${{−}{2}{\sqrt {2}}{−}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
D.$${{−}{2}{\sqrt {2}}{+}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率60.0%欧拉公式$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\operatorname{c o s} x+\mathrm{i s i n} \; x ( \mathrm{i}$$是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，复数$$\mathrm{e}^{\frac{8 \pi} {3} \mathrm{i}}$$在复平面内对应的点所在的象限为（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率60.0%在复平面中，将复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O N}$$绕原点按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2} ( O$$为坐标原点)，得到的向量为$$\overrightarrow{O N_{1}}，$$那么$$\overrightarrow{O N_{1}}$$对应的复数是（）
A
A.$${\sqrt {3}{−}{i}}$$
B.$${\sqrt {3}{+}{i}}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
7、['函数与数学文化结合'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%瑞士著名数学家欧拉发现公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当$${{x}{=}{π}}$$时，$$e^{i \pi}+1=0$$被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是$${{“}}$$上帝创造的公式$${{”}}$$.根据欧拉公式可知，$${{e}^{i}}$$表示的复数在复平面中位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率80.0%在复平面内，$${{O}}$$为坐标原点，复数$${{z}}$$对应的点为$${{Z}{(}{1}{，}{0}{)}}$$，将向量$$\overrightarrow{O Z}$$按逆时针方向旋转$${{3}{0}{°}}$$得到$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$，则$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$对应的复数$${{z}{^{′}}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$
B.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
D.$$\frac1 2-\frac{\sqrt3} 2 \mathrm{i}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$${{z}{=}{a}{+}{{b}{i}}{(}{a}{，}{b}{∈}{R}{，}{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$都可以$${{z}{=}{r}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}{)}}$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}{，}{0}{⩽}{θ}{<}{2}{π}{)}}$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac{2 i} {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%在复平面内，复数$${{z}{=}{a}{+}{b}{i}{{(}{{a}{∈}{R}{，}{b}{∈}{R}}{)}}}$$对应向量$$\overrightarrow{O Z} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，设$$| \overrightarrow{O Z} |=r$$，以射线$${{O}{x}}$$为始边，$${{O}{Z}}$$为终边逆时针旋转的角为$${{θ}}$$，则$${{z}{=}{r}{{(}{{c}{o}{s}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}}{)}}}$$，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：$${{z}_{1}{=}{{r}_{1}}{{(}{{c}{o}{s}{{θ}_{1}}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{θ}_{1}}}{)}}}$$，$${{z}_{2}{=}{{r}_{2}}{{(}{{c}{o}{s}{{θ}_{2}}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{θ}_{2}}}{)}}}$$，则$${{z}_{1}{{z}_{2}}{=}{{r}_{1}}{{r}_{2}}{{[}{{c}{o}{s}}{{(}{{θ}_{1}{+}{{θ}_{2}}}{)}}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{(}{{θ}_{1}{+}{{θ}_{2}}}{)}}{]}}}$$，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：$${{z}^{n}{=}{{[}{r}{{(}{{c}{o}{s}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}}{)}}{]}^{n}}{=}{{r}^{n}}{{(}{{c}{o}{s}{n}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{n}{θ}}{)}}}$$，则$$\left(-1+\sqrt{3} i \right)^{1 0}=( ~ ~ ~ )$$
D
A.$${{1}{0}{2}{4}{−}{{1}{0}{2}{4}}{\sqrt {3}}{i}}$$
B.$${{−}{{1}{0}{2}{4}}{+}{{1}{0}{2}{4}}{\sqrt {3}}{i}}$$
C.$${{5}{1}{2}{−}{{5}{1}{2}}{\sqrt {3}}{i}}$$
D.$${{−}{{5}{1}{2}}{+}{{5}{1}{2}}{\sqrt {3}}{i}}$$
1. 首先，根据棣莫弗定理，复数 $$\left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^n$$ 可以表示为 $$\cos \left( \frac{n\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{n\pi}{4} \right)$$。要使该复数为纯虚数，实部必须为零且虚部不为零，即 $$\cos \left( \frac{n\pi}{4} \right) = 0$$ 且 $$\sin \left( \frac{n\pi}{4} \right) \neq 0$$。解得 $$\frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），即 $$n = 2 + 4k$$。这表明 $$n$$ 必须是偶数，但并非所有偶数都满足条件（例如 $$n = 4$$ 时虚部为零）。因此，“$$n$$ 为偶数”是必要条件但不是充分条件，选 B。
2. 根据欧拉公式，$$e^{-4i} = \cos(-4) + i \sin(-4) = \cos 4 - i \sin 4$$。由于 $$4$$ 弧度位于第三象限，$$\cos 4 < 0$$ 且 $$\sin 4 < 0$$，因此 $$e^{-4i}$$ 的实部为负，虚部为正，对应第二象限，选 B。
3. 复数 $$4 \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$$ 可以转化为代数形式。计算得 $$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，因此复数为 $$4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$$，选 B。
4. 根据欧拉公式，$$e^{\frac{8\pi}{3}i} = \cos \left( \frac{8\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{8\pi}{3} \right)$$。将角度化简为 $$ \frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} $$，因此三角函数值与 $$\frac{2\pi}{3}$$ 相同。$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$，$$\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，对应第二象限，选 B。
5. 复数 $$1 + i$$ 的模为 $$\sqrt{2}$$，辐角主值为 $$\frac{\pi}{4}$$。验证各选项：①正确；②辐角错误；③正确（$$ \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} $$）；④辐角不一致。因此有两个正确选项，选 B。
6. 复数 $$1 + \sqrt{3}i$$ 旋转 $$\frac{\pi}{2}$$ 顺时针方向，相当于乘以 $$e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i$$。计算得 $$(1 + \sqrt{3}i)(-i) = \sqrt{3} - i$$，选 A。
7. 根据欧拉公式，$$e^i = \cos 1 + i \sin 1$$。由于 $$1$$ 弧度位于第一象限，$$\cos 1 > 0$$ 且 $$\sin 1 > 0$$，因此 $$e^i$$ 位于第一象限，选 A。
8. 复数 $$z = 1$$ 对应点 $$(1, 0)$$，旋转 $$30^\circ$$ 逆时针方向后，新复数为 $$1 \cdot (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$，选 A。
9. 化简复数 $$z = \frac{2i}{1 - \sqrt{3}i}$$，分子分母同乘共轭复数得 $$z = \frac{2i(1 + \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-2\sqrt{3} + 2i}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$。辐角主值为 $$\frac{5\pi}{6}$$，选 D。
10. 复数 $$-1 + \sqrt{3}i$$ 的模为 $$2$$，辐角为 $$\frac{2\pi}{3}$$。根据棣莫弗定理，$$(-1 + \sqrt{3}i)^{10} = 2^{10} \left( \cos \left( \frac{20\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{20\pi}{3} \right) \right)$$。化简角度 $$\frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3}$$，因此结果为 $$1024 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -512 + 512\sqrt{3}i$$，选 D。