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正确率60.0%已知$$a+b \mathrm{i} ( a$$，$${{b}{∈}{R}{)}}$$的三角形式为$$r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \ \theta)$$，则$$- a+b \mathrm{i}$$的三角形式是（）
B
A.$$r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta)$$
B.$$r ( \operatorname{c o s} ( \pi-\theta)+\mathrm{i s i n} ( \pi-\theta) )$$
C.$$r ( \operatorname{c o s} ( \pi+\theta)+\mathrm{i s i n} ( \pi+\theta) )$$
D.$$r ( \operatorname{c o s} ( 2 \pi-\theta)+\mathrm{i s i n} ( 2 \pi-\theta) )$$
2、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率40.0%已知复数$${{z}}$$满足$$| z |=1，$$且$$\frac{z+1} {\overline{{z}}+1}=\frac{1} {3}+a i ( a \in\boldsymbol{R} )，$$则$${{|}{a}{|}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$z=1-\mathrm{c o s} \theta-\mathrm{i s i n} \theta( \theta\in[ 0， \， \， 2 \pi) )$$的三角形式是（）
C
A.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta+\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta+\pi} {2} \biggr)$$
B.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
C.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta-\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta-\pi} {2} \biggr)$$
D.$$z=2 \mathrm{c o s} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$z=4 \left( \mathrm{c o s} \frac{3 \pi} {4}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$的代数形式为（）
B
A.$$z=2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
B.$$z=-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
C.$$z=2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
D.$$z=-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
5、['函数与数学文化结合'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%瑞士著名数学家欧拉发现公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当$${{x}{=}{π}}$$时，$$e^{i \pi}+1=0$$被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是$${{“}}$$上帝创造的公式$${{”}}$$.根据欧拉公式可知，$${{e}^{i}}$$表示的复数在复平面中位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若$${{i}}$$为虚数单位，复数$$( 3+2 i ) \， i$$等于（）
B
A.$$- 2-3 i$$
B.$$- 2+3 i$$
C.$${{2}{−}{3}{i}}$$
D.$${{2}{+}{3}{i}}$$
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '共轭复数']正确率40.0%在复平面内，复数$${{z}}$$满足$$z ( 1-\mathrm{i} )=2$$，则$${{z}}$$的共轭复数对应的点位于（）
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+b i ( i$$为虚数单位$${{)}}$$都可以写成$$z=r ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta)$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}}$$，$$0 \leqslant\theta< 2 \pi.$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率80.0%在复平面内，$${{O}}$$为坐标原点，复数$${{z}}$$对应的点为$$Z ( 1， 0 )$$，将向量$$\overrightarrow{O Z}$$按逆时针方向旋转$${{3}{0}{°}}$$得到$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$，则$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$对应的复数$${{z}{^{′}}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$
B.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
D.$$\frac1 2-\frac{\sqrt3} 2 \mathrm{i}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%将复数$${{1}{+}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{\mathrm{O M}}$$绕原点按逆时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$，得到的向量为$$\overrightarrow{O M_{1}}$$，那么$$\overrightarrow{O M_{1}}$$对应的复数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{i}}$$
B.$${\sqrt {2}{i}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 i$$
D.$$\sqrt2+\sqrt2 i$$
1. 解析：
已知复数 $$a + b\mathrm{i} = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$$，则 $$-a + b\mathrm{i}$$ 可以表示为 $$r(-\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$$。利用三角恒等式，有：
$$-\cos\theta = \cos(\pi - \theta)$$，$$\sin\theta = \sin(\pi - \theta)$$。
因此，$$-a + b\mathrm{i} = r(\cos(\pi - \theta) + \mathrm{i}\sin(\pi - \theta))$$，对应选项 B。
2. 解析：
设 $$z = x + y\mathrm{i}$$，满足 $$|z| = 1$$，即 $$x^2 + y^2 = 1$$。题目给出：
$$\frac{z + 1}{\overline{z} + 1} = \frac{1}{3} + a\mathrm{i}$$。
将 $$z$$ 和 $$\overline{z}$$ 代入，化简后可得：
$$\frac{(x + 1) + y\mathrm{i}}{(x + 1) - y\mathrm{i}} = \frac{1}{3} + a\mathrm{i}$$。
通过有理化分母并比较实部和虚部，解得 $$a = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$$，因此 $$|a| = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$，对应选项 B。
3. 解析：
复数 $$z = 1 - \cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta$$ 可以改写为：
$$z = 2\sin^2\frac{\theta}{2} - 2\mathrm{i}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\sin\frac{\theta}{2} - \mathrm{i}\cos\frac{\theta}{2}\right)$$。
利用三角恒等式，进一步化为：
$$z = 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi - \theta}{2}\right) + \mathrm{i}\sin\left(\frac{\pi - \theta}{2}\right)\right)$$。
对应选项 B。
4. 解析：
复数 $$z = 4\left(\cos\frac{3\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$ 的代数形式为：
$$z = 4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\mathrm{i}$$。
对应选项 B。
5. 解析：
根据欧拉公式，$$e^{\mathrm{i}} = \cos 1 + \mathrm{i}\sin 1$$。由于 $$1$$ 弧度位于第一象限（$$0 < 1 < \frac{\pi}{2}$$），因此 $$\cos 1 > 0$$ 且 $$\sin 1 > 0$$，复数 $$e^{\mathrm{i}}$$ 位于第一象限，对应选项 A。
6. 解析：
复数 $$(3 + 2\mathrm{i})\mathrm{i} = 3\mathrm{i} + 2\mathrm{i}^2 = 3\mathrm{i} - 2 = -2 + 3\mathrm{i}$$。
对应选项 B。
7. 解析：
复数 $$z$$ 满足 $$z(1 - \mathrm{i}) = 2$$，解得 $$z = \frac{2}{1 - \mathrm{i}} = 1 + \mathrm{i}$$。
其共轭复数为 $$1 - \mathrm{i}$$，对应的点 $$(1, -1)$$ 位于第四象限，对应选项 D。
8. 解析：
复数 $$z = \frac{2}{1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}$$ 有理化后为：
$$z = \frac{2(1 + \sqrt{3}\mathrm{i})}{(1 - \sqrt{3}\mathrm{i})(1 + \sqrt{3}\mathrm{i})} = \frac{2 + 2\sqrt{3}\mathrm{i}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$$。
其辐角主值为 $$\frac{\pi}{3}$$，对应选项 B。
9. 解析：
复数 $$z = 1$$ 对应的向量为 $$(1, 0)$$，逆时针旋转 $$30^\circ$$ 后，新的复数 $$z'$$ 为：
$$z' = 1 \cdot (\cos 30^\circ + \mathrm{i}\sin 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$$。
对应选项 A。
10. 解析：
复数 $$1 + \mathrm{i}$$ 对应的向量模长为 $$\sqrt{2}$$，辐角为 $$\frac{\pi}{4}$$。旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 后，新的辐角为 $$\frac{\pi}{2}$$，因此新的复数为：
$$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{2} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}) = \sqrt{2}\mathrm{i}$$。
对应选项 B。