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正确率40.0%对于复数$$z_{1}， z_{2}， z_{3}$$，给出下列三个运算式子：$$( 1 ) ~ | z_{1}+z_{2} | \leqslant| z_{1} |+| z_{2} |， ~ ~ ( 2 ) ~ | z_{1} \cdot z_{2} | \leqslant| z_{1} | \cdot| z_{2} |， ~ ~ ( 3 ) ~ ~ ( z_{1} \cdot z_{2} ) ~ \cdot z_{3}=z_{1} \cdot( z_{2} \cdot z_{3} )$$．其中正确的个数是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['利用诱导公式化简'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率60.0%复数$$z=\operatorname{s i n} 5 0^{\circ}-\mathrm{i c o s} 5 0^{\circ}$$的辐角的主值是（）
D
A.$${{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{2}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{3}{1}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{2}{0}^{∘}}$$
3、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '利用诱导公式求值'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率40.0%在复平面内，复数$$z=a+b \mathrm{i} ( a \in\mathbf{R}， b \in\mathbf{R} )$$对应的向量为$$\overrightarrow{O Z} ( O$$为坐标原点)，设$$| \overrightarrow{O Z} |=r，$$以射线$${{O}{x}}$$为始边$${，{O}{Z}}$$为终边逆时针旋转的角为$${{θ}{，}}$$则$$z=r ( \mathrm{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta)，$$法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若$$z_{1}=r_{1} ( \operatorname{c o s} \theta_{1}+\mathrm{i s i n} \theta_{1} )，$$$$z_{2}=r_{2} ( \mathrm{c o s} \theta_{2}+\mathrm{i s i n} \theta_{2} )，$$则$${{z}_{1}{{z}_{2}}{=}}$$$$r_{1} r_{2} [ \operatorname{c o s} ( \theta_{1}+\theta_{2} )+\mathrm{i s i n} ( \theta_{1}+\theta_{2} ) ]$$.由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式：
$$z^{n}=[ r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta) ]^{n}$$$$= r^{n} ( \mathrm{c o s} n \theta+\mathrm{i s i n} n \theta)$$，则$$(-1+\sqrt{3} \mathrm{i} )^{1 0}=$$（）
D
A.$$1 0 2 4-1 0 2 4 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
B.$$- 1 0 2 4+1 0 2 4 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
C.$$5 1 2-5 1 2 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
D.$$- 5 1 2+5 1 2 \sqrt3 \mathrm{i}$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%下列三个复数式是复数的三角形式的个数为（）
①$$\frac1 2 \Bigl( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}-\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \Bigr)$$；
②$$- \frac{1} {2}$$$$\left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {3} \right)$$；
③$$\mathrm{s i n} \frac{\pi} {5}+\mathrm{i} \operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}$$.
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%若复数$$z=\operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta$$，当$$\theta=\frac{4} {3} \pi$$时，则复数$${{z}}$$在复平面内对应的点位于（）
C
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
7、['函数与数学文化结合'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%瑞士著名数学家欧拉发现公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当$${{x}{=}{π}}$$时，$$e^{i \pi}+1=0$$被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是$${{“}}$$上帝创造的公式$${{”}}$$.根据欧拉公式可知，$${{e}^{i}}$$表示的复数在复平面中位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{s i n} \frac{5 \pi} {4}+\mathrm{i c o s} \frac{5 \pi} {4} \right)$$的代数形式是（）
A
A.$$\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}$$
B.$$- \sqrt2-\sqrt2 \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 \mathrm{i}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2-\frac{\sqrt2} 2 \mathrm{i}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+b i ( i$$为虚数单位$${{)}}$$都可以写成$$z=r ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta)$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}}$$，$$0 \leqslant\theta< 2 \pi.$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%将复数$${{1}{+}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O M}$$绕原点按逆时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$，得到的向量为$$\overrightarrow{O M_{1}}$$，那么$$\overrightarrow{O M_{1}}$$对应的复数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{i}}$$
B.$${\sqrt {2}{i}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 i$$
D.$$\sqrt2+\sqrt2 i$$
1. 解析：
(1) $$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$$ 是三角不等式，正确。
(2) $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$$，题目中写的是 $$\leq$$，实际上等式成立，因此题目描述错误。
(3) $$(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$$ 是复数乘法的结合律，正确。
综上，正确的个数是 2 个，选 C。
2. 解析：
$$\sin 50^\circ = \cos 220^\circ$$，$$-\cos 50^\circ = \sin 220^\circ$$。
辐角主值为 $$220^\circ$$，选 B。
3. 解析：
模 $$r = 2$$，辐角 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。
根据棣莫弗定理：
$$(-1 + \sqrt{3}i)^{10} = 2^{10} \left( \cos \frac{20\pi}{3} + i \sin \frac{20\pi}{3} \right)$$。
$$\frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3}$$，因此化简为：
$$1024 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = -512 + 512\sqrt{3}i$$。
选 D。
4. 解析：
① $$\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$ 不是三角形式（实部应为 $$\cos$$，虚部为 $$+i \sin$$）。
② $$-\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$ 不是三角形式（系数必须为正）。
③ $$\sin \frac{\pi}{5} + i \cos \frac{\pi}{5}$$ 不是三角形式（实部应为 $$\cos$$）。
综上，正确的个数为 0，选 A。
5. 解析：
① 正确。
② 错误（$$\sin$$ 部分应为 $$-\frac{\pi}{4}$$）。
③ 正确（$$9\pi/4$$ 与 $$\pi/4$$ 同终边）。
④ 错误（$$\sin$$ 部分应为 $$\frac{\pi}{4}$$）。
综上，正确的个数为 2，选 B。
6. 解析：
实部和虚部均为负，位于第三象限，选 C。
7. 解析：
$$1$$ 弧度约为 $$57.3^\circ$$，位于第一象限，因此 $$e^i$$ 在第一象限，选 A。
8. 解析：
$$\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，代数形式为 $$-2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$$，选 A。
9. 解析：
$$z = \frac{2(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)} = \frac{2(1 + \sqrt{3}i)}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$。
辐角主值为 $$\frac{\pi}{3}$$，选 B。
10. 解析：
旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 后，新的辐角为 $$\frac{\pi}{2}$$，对应的复数为 $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2}i$$，选 B。