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正确率60.0%复数$${{z}{=}{s}{i}{n}{{5}{0}^{∘}}{−}{i}{c}{o}{s}{{5}{0}^{∘}}}$$的辐角的主值是（）
D
A.$${{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{2}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{3}{1}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{2}{0}^{∘}}$$
2、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率60.0%在复平面中，将复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O N}$$绕原点按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2} ( O$$为坐标原点)，得到的向量为$$\overrightarrow{O N_{1}}，$$那么$$\overrightarrow{O N_{1}}$$对应的复数是（）
A
A.$${\sqrt {3}{−}{i}}$$
B.$${\sqrt {3}{+}{i}}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
4、['函数与数学文化结合'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%瑞士著名数学家欧拉发现公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当$${{x}{=}{π}}$$时，$$e^{i \pi}+1=0$$被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是$${{“}}$$上帝创造的公式$${{”}}$$.根据欧拉公式可知，$${{e}^{i}}$$表示的复数在复平面中位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '辐角的主值']正确率60.0%若复数$${{z}{=}{(}{a}{+}{i}{{)}^{2}}}$$的辐角的主值是$$\frac{3 \pi} {2}，$$则实数$${{a}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$${{−}{{1}{0}}}$$的三角形式是（）
C
A.$$1 0 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {2} \right)$$
B.$$- 1 0 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {2}-\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {2} \right)$$
C.$${{1}{0}{(}{{c}{o}{s}{π}}{+}{{i}{s}{i}{n}{π}}{)}}$$
D.$${{1}{0}{(}{{s}{i}{n}}{0}{+}{{i}{s}{i}{n}}{0}{)}}$$
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率60.0%复数$${{1}{−}{\sqrt {3}}{i}}$$的辐角的主值是（）
A
A.$$\frac{5} {3} \pi$$
B.$$\frac{2} {3} \pi$$
C.$${\frac{5} {6}} \pi$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%复数都可以表示为$${{z}{=}{|}{z}{|}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}{)}{(}{0}{⩽}{θ}{<}{2}{π}{)}}$$，其中$${{|}{z}{|}}$$为$${{z}}$$的模，$${{θ}}$$称为$${{z}}$$的辐角．已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{\left( 1-\mathrm{i} \right)^{2}} {z}=1+\mathrm{i}$$，则$${{z}}$$的辐角为
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
9、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%设$${{z}_{1}{=}{2}{(}{{c}{o}{s}}{{3}{7}{.}{5}}{°}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{3}{7}{.}{5}}{°}{)}}$$，$${{z}_{2}{=}{4}{(}{{c}{o}{s}}{{7}{.}{5}}{°}{−}{i}{{s}{i}{n}}{{7}{.}{5}}{°}{)}}$$，则$${{z}_{1}{⋅}{{z}_{2}}}$$的值等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{6}{(}{{c}{o}{s}}{{4}{5}}{°}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{4}{5}}{°}{)}}$$
B.$${{8}{(}{{c}{o}{s}}{{4}{5}}{°}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{4}{5}}{°}{)}}$$
C.$${{1}{6}{(}{{c}{o}{s}}{{3}{0}}{°}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{3}{0}}{°}{)}}$$
D.$${{8}{(}{{c}{o}{s}}{{3}{0}}{°}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{3}{0}}{°}{)}}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$${{z}{=}{a}{+}{{b}{i}}{(}{a}{，}{b}{∈}{R}{，}{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$都可以$${{z}{=}{r}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}{)}}$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}{，}{0}{⩽}{θ}{<}{2}{π}{)}}$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac{2 i} {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
1、复数$${{z}{=}{s}{i}{n}{{5}{0}^{∘}}{−}{i}{c}{o}{s}{{5}{0}^{∘}}}$$的辐角的主值是（）。
解析：首先将复数表示为三角形式$${z = \cos\theta + i\sin\theta}$$。
$${z = \sin50^\circ - i\cos50^\circ = \cos(270^\circ + 50^\circ) + i\sin(270^\circ + 50^\circ) = \cos320^\circ + i\sin320^\circ}$$。
因此，辐角的主值是$${320^\circ}$$，答案为D。
2、下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）。
解析：复数$${1 + i}$$的模为$${\sqrt{2}}$$，辐角主值为$${\frac{\pi}{4}}$$。
①正确，为标准三角形式。
②错误，因为辐角不一致。
③正确，因为$${\frac{9\pi}{4}}$$与$${\frac{\pi}{4}}$$相差$${2\pi}$$。
④错误，因为辐角不一致。
正确的个数是2，答案为B。
3、在复平面中，将复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O N}$$绕原点按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2} ( O$$为坐标原点)，得到的向量为$$\overrightarrow{O N_{1}},$$那么$$\overrightarrow{O N_{1}}$$对应的复数是（）。
解析：复数$${1 + \sqrt{3}i}$$的模为2，辐角为$${\frac{\pi}{3}}$$。
顺时针旋转$${\frac{\pi}{2}}$$后，新的辐角为$${\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}}$$。
对应的复数为$${2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{3} - i}$$。
答案为A。
4、瑞士著名数学家欧拉发现公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当$${{x}{=}{π}}$$时，$$e^{i \pi}+1=0$$被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是$${{“}}$$上帝创造的公式$${{”}}$$.根据欧拉公式可知，$${{e}^{i}}$$表示的复数在复平面中位于（）。
解析：根据欧拉公式，$${e^i = \cos1 + i\sin1}$$。
由于$${1}$$弧度约等于$${57.3^\circ}$$，位于第一象限，因此$${\cos1 > 0}$$且$${\sin1 > 0}$$。
复数$${e^i}$$位于第一象限，答案为A。
5、若复数$${{z}{=}{(}{a}{+}{i}{{)}^{2}}}$$的辐角的主值是$$\frac{3 \pi} {2},$$则实数$${{a}}$$的值是（）。
解析：展开$${z = (a + i)^2 = a^2 - 1 + 2ai}$$。
辐角主值为$${\frac{3\pi}{2}}$$，说明复数位于负虚轴上，即实部为0，虚部为负。
因此$${a^2 - 1 = 0}$$且$${2a < 0}$$，解得$${a = -1}$$。
答案为B。
6、复数$${{−}{{1}{0}}}$$的三角形式是（）。
解析：复数$${-10}$$的模为10，辐角为$${\pi}$$。
因此其三角形式为$${10(\cos\pi + i\sin\pi)}$$。
答案为C。
7、复数$${{1}{−}{\sqrt {3}}{i}}$$的辐角的主值是（）。
解析：复数$${1 - \sqrt{3}i}$$的模为2，辐角为$${-\frac{\pi}{3}}$$或$${\frac{5\pi}{3}}$$。
主值范围为$${[0, 2\pi)}$$，因此主值为$${\frac{5\pi}{3}}$$。
答案为A。
8、复数都可以表示为$${{z}{=}{|}{z}{|}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}{)}{(}{0}{⩽}{θ}{<}{2}{π}{)}}$$，其中$${{|}{z}{|}}$$为$${{z}}$$的模，$${{θ}}$$称为$${{z}}$$的辐角．已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{\left( 1-\mathrm{i} \right)^{2}} {z}=1+\mathrm{i}$$，则$${{z}}$$的辐角为。
解析：化简方程$${\frac{(1 - i)^2}{z} = 1 + i}$$。
$${(1 - i)^2 = -2i}$$，因此$${z = \frac{-2i}{1 + i} = \frac{-2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2i + 2i^2}{2} = -1 - i}$$。
复数$${z = -1 - i}$$的辐角为$${\frac{5\pi}{4}}$$。
答案为C。
9、设$${{z}_{1}{=}{2}{(}{{c}{o}{s}}{{3}{7}{.}{5}}{°}{+}{i}{{s}{i}{n}}{{3}{7}{.}{5}}{°}{)}}$$，$${{z}_{2}{=}{4}{(}{{c}{o}{s}}{{7}{.}{5}}{°}{−}{i}{{s}{i}{n}}{{7}{.}{5}}{°}{)}}$$，则$${{z}_{1}{⋅}{{z}_{2}}}$$的值等于$${{(}{)}}$$。
解析：$${z_2}$$可以表示为$${4(\cos(-7.5^\circ) + i\sin(-7.5^\circ))}$$。
复数相乘，模相乘，辐角相加：$${z_1 \cdot z_2 = 8(\cos(37.5^\circ - 7.5^\circ) + i\sin(37.5^\circ - 7.5^\circ)) = 8(\cos30^\circ + i\sin30^\circ)}$$。
答案为D。
10、任意复数$${{z}{=}{a}{+}{{b}{i}}{(}{a}{,}{b}{∈}{R}{,}{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$都可以$${{z}{=}{r}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}{)}}$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}{,}{0}{⩽}{θ}{<}{2}{π}{)}}$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac{2 i} {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$。
解析：化简$${z = \frac{2i}{1 - \sqrt{3}i}}$$。
分子分母同乘共轭复数$${1 + \sqrt{3}i}$$：$${z = \frac{2i(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)} = \frac{2i - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}}$$。
复数$${z}$$的辐角为$${\frac{5\pi}{6}}$$。
答案为D。