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正确率60.0%欧拉$$\， \gets\， \gets\， \gets\， \gets\， \hphantom{\frac{1} {2}} \， L e o n h a r d E u l e r$$，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x \left( i \right)$$为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为$${{“}}$$数学中的天桥$${{”}}$$，根据此公式可知，$$e^{-4 i}$$表示的复数在复平面中位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%复数$$z=\operatorname{s i n} 1 0 0^{\circ}-\mathrm{i c o s} 1 0 0^{\circ}$$在复平面内对应的点$${{Z}}$$位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$- \frac1 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {3} \right)$$的一个三角形式是（）
B
A.$$\frac1 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{5 \pi} 3+\mathrm{i s i n} \frac{5 \pi} 3 \right)$$
B.$$\frac1 2 \left( \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{4 \pi} {3} \right)$$
C.$${\frac{1} {2}} \biggl( \mathrm{c o s} {\frac{5 \pi} {6}}+\mathrm{i s i n} {\frac{5 \pi} {6}} \biggr)$$
D.$$\frac1 2 \biggl( \operatorname{c o s} \frac{1 1 \pi} {6}+\mathrm{i s i n} \frac{1 1 \pi} {6} \biggr)$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$的一个三角形式是（）
B
A.$$2 \left( \operatorname{c o s} \frac{\pi} {6}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {6} \right)$$
B.$$2 \left( \operatorname{c o s} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {3} \right)$$
C.$$2 \left( \operatorname{c o s} \frac{\pi} {6}-\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {6} \right)$$
D.$$2 \left( \operatorname{c o s} \frac{\pi} {3}-\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {3} \right)$$
5、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率60.0%复数$$\left( \operatorname{c o s} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {3} \right)^{4}$$在复平面内对应的点位于（）
C
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$z=4 \left( \mathrm{c o s} \frac{3 \pi} {4}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$的代数形式为（）
B
A.$$z=2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
B.$$z=-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
C.$$z=2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
D.$$z=-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%若$${{i}}$$为虚数单位，复数$$( 3+2 i ) \， i$$等于（）
B
A.$$- 2-3 i$$
B.$$- 2+3 i$$
C.$${{2}{−}{3}{i}}$$
D.$${{2}{+}{3}{i}}$$
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的模'， '辐角的主值']正确率80.0%复数都可以表示为$$z=| z | ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta) ( 0 \leqslant\theta< 2 \pi)$$，其中$${{|}{z}{|}}$$为$${{z}}$$的模，$${{θ}}$$称为$${{z}}$$的辐角$${{.}}$$已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{( 1-i )^{2}} {z}=1+i$$，则$${{z}}$$的辐角为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+b i ( i$$为虚数单位$${{)}}$$都可以写成$$z=r ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta)$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}}$$，$$0 \leqslant\theta< 2 \pi.$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {5}+i \mathrm{s i n} \frac{\pi} {5} \right)$$辐角的主值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {5}$$
B.$$\frac{4} {5} \pi$$
C.$$\frac{6} {5} \pi$$
D.$$\frac{9} {5} \pi$$
1. 根据欧拉公式 $$e^{i x} = \cos x + i \sin x$$，将 $$e^{-4i}$$ 展开为 $$\cos(-4) + i \sin(-4)$$。由于 $$\cos(-4) = \cos 4$$ 和 $$\sin(-4) = -\sin 4$$，复数表示为 $$\cos 4 - i \sin 4$$。在复平面中，实部 $$\cos 4$$ 为正（因为 $$4$$ 弧度位于第四象限，余弦为正），虚部 $$-\sin 4$$ 为负（正弦在第四象限为负）。因此，$$e^{-4i}$$ 位于第四象限，答案为 D。
2. 复数 $$z = \sin 100^\circ - i \cos 100^\circ$$ 的实部为 $$\sin 100^\circ$$，虚部为 $$-\cos 100^\circ$$。因为 $$100^\circ$$ 在第二象限，$$\sin 100^\circ > 0$$ 且 $$\cos 100^\circ < 0$$，所以虚部 $$-\cos 100^\circ > 0$$。因此，点 $$Z$$ 位于第一象限，答案为 A。
3. 复数 $$-\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$ 可以改写为 $$\frac{1}{2} \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)$$。因此，答案为 B。
4. 复数 $$1 + \sqrt{3}i$$ 的模为 $$2$$，辐角为 $$\frac{\pi}{3}$$，因此其三角形式为 $$2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$，答案为 B。
5. 复数 $$\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)^4$$ 使用德摩根公式化为 $$\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$$。$$\frac{4\pi}{3}$$ 位于第三象限，因此答案为 C。
6. 复数 $$z = 4 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$$ 展开为 $$4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$$，答案为 B。
7. 复数 $$(3 + 2i)i = 3i + 2i^2 = 3i - 2 = -2 + 3i$$，答案为 B。
8. 解方程 $$\frac{(1-i)^2}{z} = 1+i$$ 得 $$z = \frac{(1-i)^2}{1+i} = \frac{-2i}{1+i} = \frac{-2i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-2i + 2i^2}{2} = -1 - i$$。复数 $$-1 - i$$ 的辐角为 $$\frac{5\pi}{4}$$，答案为 C。
9. 复数 $$z = \frac{2}{1 - \sqrt{3}i}$$ 有理化后为 $$\frac{2(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)} = \frac{2 + 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$。其辐角主值为 $$\frac{\pi}{3}$$，答案为 B。
10. 复数 $$-2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right)$$ 可以改写为 $$2 \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{5} \right) + i \sin \left( \pi + \frac{\pi}{5} \right) \right)$$，其辐角主值为 $$\frac{6\pi}{5}$$，答案为 C。