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正确率60.0%欧拉
，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x \left( i \right)$$为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为$${{“}}$$数学中的天桥$${{”}}$$，根据此公式可知，$$e^{-4 i}$$表示的复数在复平面中位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%复数$$z=\operatorname{s i n} 1 0 0^{\circ}-\mathrm{i c o s} 1 0 0^{\circ}$$在复平面内对应的点$${{Z}}$$位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率40.0%已知复数$${{z}}$$满足$$| z |=1，$$且$$\frac{z+1} {\overline{{z}}+1}=\frac{1} {3}+a i ( a \in\boldsymbol{R} )，$$则$${{|}{a}{|}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$4 \left( \mathrm{s i n} \frac{3 \pi} {4}+\mathrm{i c o s} \frac{3 \pi} {4} \right)$$的代数形式是（）
B
A.$$2 \sqrt2+2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
B.$$2 \sqrt2-2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
C.$$- 2 \sqrt2-2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
D.$$- 2 \sqrt2+2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
5、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$的三角形式是（）
A
A.$$\operatorname{c o s} \frac{\pi} {6}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {6}$$
B.$$\operatorname{s i n} \frac{\pi} {6}+\mathrm{i} \operatorname{c o s} \frac{\pi} {6}$$
C.$$\operatorname{c o s} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{\pi} {3}$$
D.$$\operatorname{s i n} \frac{\pi} {3}+\mathrm{i} \operatorname{c o s} \frac{\pi} {3}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的模'， '三角形式下的复数相等'， '辐角的主值']正确率40.0%已知复数$$z=i+i^{2 0 1 8}$$，则$$| z |=~ ($$）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
7、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%若复数$$z=\operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta$$，当$$\theta=\frac{4} {3} \pi$$时，则复数$${{z}}$$在复平面内对应的点位于（）
C
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '共轭复数']正确率40.0%在复平面内，复数$${{z}}$$满足$$z ( 1-\mathrm{i} )=2$$，则$${{z}}$$的共轭复数对应的点位于（）
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {5}+i \mathrm{s i n} \frac{\pi} {5} \right)$$辐角的主值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {5}$$
B.$$\frac{4} {5} \pi$$
C.$$\frac{6} {5} \pi$$
D.$$\frac{9} {5} \pi$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%将复数$${{1}{+}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O M}$$绕原点按逆时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$，得到的向量为$$\overrightarrow{O M_{1}}$$，那么$$\overrightarrow{O M_{1}}$$对应的复数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{i}}$$
B.$${\sqrt {2}{i}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 i$$
D.$$\sqrt2+\sqrt2 i$$
1. 根据欧拉公式 $$e^{i x} = \cos x + i \sin x$$，将 $$x = -4$$ 代入得 $$e^{-4i} = \cos(-4) + i \sin(-4)$$。由于 $$\cos(-4) = \cos 4$$ 和 $$\sin(-4) = -\sin 4$$，且 $$4 \text{ rad} \approx 229.2^\circ$$ 位于第三象限，此时 $$\cos 4 < 0$$ 且 $$\sin 4 < 0$$，因此 $$e^{-4i}$$ 的实部为负，虚部为正，位于第二象限。答案为 B。
2. 复数 $$z = \sin 100^\circ - i \cos 100^\circ$$。因为 $$100^\circ$$ 在第二象限，$$\sin 100^\circ > 0$$ 且 $$\cos 100^\circ < 0$$，所以 $$z$$ 的实部为正，虚部为正（因为 $$-i \cos 100^\circ$$ 中 $$\cos 100^\circ$$ 为负），位于第一象限。答案为 A。
3. 设 $$z = x + yi$$，满足 $$|z| = 1$$ 即 $$x^2 + y^2 = 1$$。由 $$\frac{z+1}{\overline{z}+1} = \frac{1}{3} + a i$$，化简得 $$z + 1 = \left( \frac{1}{3} + a i \right) (\overline{z} + 1)$$。展开并比较实部和虚部，解得 $$a = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。答案为 B。
4. 复数 $$4 \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$$。计算得 $$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，因此代数形式为 $$4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$$。答案为 B。
5. 复数 $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$ 的模为 1，幅角为 $$\frac{\pi}{6}$$，因此三角形式为 $$\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}$$。答案为 A。
6. 复数 $$z = i + i^{2018}$$。由于 $$i^{2018} = (i^4)^{504} \cdot i^2 = -1$$，所以 $$z = i - 1$$。模为 $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$。答案为 C。
7. 复数 $$z = \cos \theta + i \sin \theta$$ 当 $$\theta = \frac{4\pi}{3}$$ 时，位于第三象限，因为 $$\cos \frac{4\pi}{3} < 0$$ 且 $$\sin \frac{4\pi}{3} < 0$$。答案为 C。
8. 复数 $$z$$ 满足 $$z(1 - i) = 2$$，解得 $$z = \frac{2}{1 - i} = 1 + i$$。其共轭复数为 $$1 - i$$，对应点 $$(1, -1)$$ 位于第四象限。答案为 D。
9. 复数 $$-2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right)$$ 可以表示为 $$2 \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{5} \right) + i \sin \left( \pi + \frac{\pi}{5} \right) \right)$$，其辐角主值为 $$\frac{6\pi}{5}$$。答案为 C。
10. 复数 $$1 + i$$ 的模为 $$\sqrt{2}$$，幅角为 $$\frac{\pi}{4}$$。旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 后，幅角变为 $$\frac{\pi}{2}$$，因此对应的复数为 $$\sqrt{2}i$$。答案为 B。