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正确率80.0%复数$$z=4 \left( \mathrm{c o s} \frac{5 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{5 \pi} {4} \right)$$的代数形式为（）
D
A.$${{z}{=}{2}{\sqrt {2}}{+}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
B.$${{z}{=}{−}{2}{\sqrt {2}}{+}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
C.$${{z}{=}{2}{\sqrt {2}}{−}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
D.$${{z}{=}{−}{2}{\sqrt {2}}{−}{2}{\sqrt {2}}{i}}$$
2、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['复数三角形式的除法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%$${{2}{÷}{[}{2}{(}{{c}{o}{s}{{6}{0}^{∘}}}{+}{{i}{s}{i}{n}{{6}{0}^{∘}}}{)}{]}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i}$$
B.$$\frac1 2-\frac{\sqrt3} 2 \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '三角形式下的复数相等'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%$$( \frac{1+i} {1-i} )^{8}=\L$$）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{i}}$$
D.$${{−}{i}}$$
5、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{s i n} \frac{5 \pi} {4}+\mathrm{i c o s} \frac{5 \pi} {4} \right)$$的代数形式是（）
A
A.$${\sqrt {2}{+}{\sqrt {2}}{i}}$$
B.$${{−}{\sqrt {2}}{−}{\sqrt {2}}{i}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 \mathrm{i}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2-\frac{\sqrt2} 2 \mathrm{i}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法']正确率60.0%欧拉公式$$e^{i \theta}=\operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta( i$$为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为$${{“}}$$数学中的天桥$${{”}}$$.根据欧拉公式，若将$$e^{{\frac{\pi} {2}} i}$$表示的复数记为$${{z}}$$，则$${{z}{⋅}{(}{1}{+}{2}{i}{)}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{2}{+}{i}}$$
B.$${{2}{+}{i}}$$
C.$${{−}{2}{−}{i}}$$
D.$${{2}{−}{i}}$$
7、['函数的最大(小)值'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%已知$${{z}{=}{x}{+}{y}{i}{（}{x}{，}{y}{∈}{R}{）}}$$且$${{|}{z}{|}{=}{1}}$$，则$${{x}{+}{\sqrt {3}}{y}}$$的最大值（）
B
A.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的有关概念']正确率60.0%复数$${{z}{=}{2}{−}{3}{i}}$$的虚部为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{i}}$$
B.$${{−}{3}{i}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$${{z}{=}{a}{+}{b}{i}{(}{i}}$$为虚数单位$${{)}}$$都可以写成$${{z}{=}{r}{(}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{i}{{s}{i}{n}}{θ}{)}}$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}}$$，$${{0}{⩽}{θ}{<}{2}{π}{.}}$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%将复数$${{1}{+}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O M}$$绕原点按逆时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$，得到的向量为$$\overrightarrow{O M_{1}}$$，那么$$\overrightarrow{O M_{1}}$$对应的复数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{i}}$$
B.$${\sqrt {2}{i}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 i$$
D.$${\sqrt {2}{+}{\sqrt {2}}{i}}$$
1. 复数 $$z=4 \left( \cos \frac{5 \pi}{4} + i \sin \frac{5 \pi}{4} \right)$$ 的代数形式为：
计算三角函数值：$$\cos \frac{5 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\sin \frac{5 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
代入得：$$z = 4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} i$$。
正确答案为 D。
2. 复数 $$1 + i$$ 的三角形式判断：
① $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$ 正确。
② $$\sqrt{2} \left[ \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \frac{\pi}{4} \right]$$ 错误，辐角不一致。
③ $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{9 \pi}{4} + i \sin \frac{9 \pi}{4} \right)$$ 正确，因为 $$\frac{9 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{\pi}{4}$$。
④ $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right)$$ 错误，辐角不一致。
正确的个数是 2，答案为 B。
3. 计算 $$2 \div \left[ 2 \left( \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \right) \right]$$：
除法转换为乘法：$$\frac{2}{2} \cdot \left( \cos (-60^\circ) + i \sin (-60^\circ) \right) = \cos (-60^\circ) + i \sin (-60^\circ)$$。
计算得：$$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$$。
正确答案为 B。
4. 计算 $$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^8$$：
先化简 $$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i$$。
因此 $$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^8 = i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1$$。
正确答案为 B。
5. 复数 $$-2 \left( \sin \frac{5 \pi}{4} + i \cos \frac{5 \pi}{4} \right)$$ 的代数形式：
计算三角函数值：$$\sin \frac{5 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos \frac{5 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
代入得：$$-2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$。
正确答案为 A。
6. 欧拉公式计算 $$z \cdot (1 + 2i)$$，其中 $$z = e^{\frac{\pi}{2} i}$$：
根据欧拉公式：$$e^{\frac{\pi}{2} i} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = 0 + 1i = i$$。
因此 $$z \cdot (1 + 2i) = i \cdot (1 + 2i) = i + 2i^2 = i - 2 = -2 + i$$。
正确答案为 A。
7. 已知 $$|z| = 1$$，求 $$x + \sqrt{3} y$$ 的最大值：
设 $$z = x + y i$$，由 $$|z| = 1$$ 得 $$x^2 + y^2 = 1$$。
利用参数化 $$x = \cos \theta$$，$$y = \sin \theta$$，则 $$x + \sqrt{3} y = \cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right)$$。
最大值为 $$2$$。
正确答案为 B。
8. 复数 $$z = 2 - 3i$$ 的虚部为：
复数 $$a + b i$$ 的虚部是 $$b$$，因此虚部为 $$-3$$。
正确答案为 D。
9. 复数 $$z = \frac{2}{1 - \sqrt{3} i}$$ 的辐角主值：
先化简 $$z = \frac{2 (1 + \sqrt{3} i)}{(1 - \sqrt{3} i)(1 + \sqrt{3} i)} = \frac{2 (1 + \sqrt{3} i)}{1 + 3} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$$。
因此 $$z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$$，辐角为 $$\frac{\pi}{3}$$。
正确答案为 B。
10. 复数 $$1 + i$$ 旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 后的结果：
$$1 + i$$ 的模为 $$\sqrt{2}$$，辐角为 $$\frac{\pi}{4}$$。
旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 后，辐角变为 $$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$。
因此新的复数为 $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2} i$$。
正确答案为 B。