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正确率40.0%在复平面内，复数$$z=a+b \mathrm{i} ( a \in\mathbf{R}， b \in\mathbf{R} )$$对应的向量为$$\overrightarrow{O Z} ( O$$为坐标原点)，设$$| \overrightarrow{O Z} |=r，$$以射线$${{O}{x}}$$为始边$${，{O}{Z}}$$为终边逆时针旋转的角为$${{θ}{，}}$$则$$z=r ( \mathrm{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta)，$$法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若$$z_{1}=r_{1} ( \operatorname{c o s} \theta_{1}+\mathrm{i s i n} \theta_{1} )，$$$$z_{2}=r_{2} ( \mathrm{c o s} \theta_{2}+\mathrm{i s i n} \theta_{2} )，$$则$${{z}_{1}{{z}_{2}}{=}}$$$$r_{1} r_{2} [ \operatorname{c o s} ( \theta_{1}+\theta_{2} )+\mathrm{i s i n} ( \theta_{1}+\theta_{2} ) ]$$.由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式：
$$z^{n}=[ r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta) ]^{n}$$$$= r^{n} ( \mathrm{c o s} n \theta+\mathrm{i s i n} n \theta)$$，则$$(-1+\sqrt{3} \mathrm{i} )^{1 0}=$$（）
D
A.$$1 0 2 4-1 0 2 4 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
B.$$- 1 0 2 4+1 0 2 4 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
C.$$5 1 2-5 1 2 \sqrt{3} \mathrm{i}$$
D.$$- 5 1 2+5 1 2 \sqrt3 \mathrm{i}$$
2、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$4 \left( \mathrm{s i n} \frac{3 \pi} {4}+\mathrm{i c o s} \frac{3 \pi} {4} \right)$$的代数形式是（）
B
A.$$2 \sqrt2+2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
B.$$2 \sqrt2-2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
C.$$- 2 \sqrt2-2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
D.$$- 2 \sqrt2+2 \sqrt2 \mathrm{i}$$
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率60.0%在复平面中，将复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O N}$$绕原点按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2} ( O$$为坐标原点)，得到的向量为$$\overrightarrow{O N_{1}}，$$那么$$\overrightarrow{O N_{1}}$$对应的复数是（）
A
A.$$\sqrt3-\mathrm{i}$$
B.$$\sqrt{3}+\mathrm{i}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
5、['函数与数学文化结合'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%瑞士著名数学家欧拉发现公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当$${{x}{=}{π}}$$时，$$e^{i \pi}+1=0$$被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是$${{“}}$$上帝创造的公式$${{”}}$$.根据欧拉公式可知，$${{e}^{i}}$$表示的复数在复平面中位于（）
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '三角形式下的复数相等'， '复数的除法'， '复数的四则运算综合应用']正确率60.0%$$( \frac{1+i} {1-i} )^{8}=\L$$）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{i}}$$
D.$${{−}{i}}$$
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '辐角的主值']正确率60.0%若复数$$z=( a+\mathrm{i} )^{2}$$的辐角的主值是$$\frac{3 \pi} {2}，$$则实数$${{a}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的有关概念']正确率60.0%复数$$z=2-3 i$$的虚部为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{i}}$$
B.$${{−}{3}{i}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+b i ( i$$为虚数单位$${{)}}$$都可以写成$$z=r ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta)$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}}$$，$$0 \leqslant\theta< 2 \pi.$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率80.0%在复平面内，$${{O}}$$为坐标原点，复数$${{z}}$$对应的点为$$Z ( 1， 0 )$$，将向量$$\overrightarrow{O Z}$$按逆时针方向旋转$${{3}{0}{°}}$$得到$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$，则$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$对应的复数$${{z}{^{′}}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$
B.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
D.$$\frac1 2-\frac{\sqrt3} 2 \mathrm{i}$$
### 第一题解析我们需要计算 $$(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})^{10}$$。首先将复数转换为三角形式：
最终答案为 $$\boxed{D}$$。
--- ### 第二题解析将复数 $$4 \left( \sin \frac{3\pi}{4} + \mathrm{i} \cos \frac{3\pi}{4} \right)$$ 转换为代数形式：
最终答案为 $$\boxed{B}$$。
--- ### 第三题解析复数 $$1+\mathrm{i}$$ 的三角形式为 $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i} \sin \frac{\pi}{4} \right)$$。检查各选项：
正确的个数是 2 个，对应选项 B。
最终答案为 $$\boxed{B}$$。
--- ### 第四题解析复数 $$1+\sqrt{3} \mathrm{i}$$ 的模为 2，辐角为 $$\frac{\pi}{3}$$。顺时针旋转 $$\frac{\pi}{2}$$ 后，新辐角为 $$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$$。
最终答案为 $$\boxed{A}$$。
--- ### 第五题解析根据欧拉公式 $$e^{i x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x$$，当 $$x=1$$ 时：
最终答案为 $$\boxed{A}$$。
--- ### 第六题解析计算 $$\left( \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} \right)^8$$：
最终答案为 $$\boxed{B}$$。
--- ### 第七题解析复数 $$z = (a+\mathrm{i})^2 = a^2 + 2a\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = (a^2-1) + 2a\mathrm{i}$$。其辐角主值为 $$\frac{3\pi}{2}$$，说明复数位于负虚轴上。
最终答案为 $$\boxed{B}$$。
--- ### 第八题解析复数 $$z = 2 - 3\mathrm{i}$$ 的虚部为 $$-3$$（不包含 $$\mathrm{i}$$）。
最终答案为 $$\boxed{D}$$。
--- ### 第九题解析计算复数 $$z = \frac{2}{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}$$ 的辐角主值：
最终答案为 $$\boxed{B}$$。
--- ### 第十题解析复数 $$z = 1$$ 对应点 $$(1, 0)$$，旋转 $$30^\circ$$ 后：
最终答案为 $$\boxed{A}$$。
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