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正确率40.0%任何一个复数$$z=a+b \mathrm{i}$$（其中$$a， b \in{\bf R}$$，$${{i}}$$为虚数单位）都可以表示成$$z=r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta)$$（其中$${{r}{⩾}{0}}$$，$${{θ}{∈}{R}}$$）的形式，通常称之为复数$${{z}}$$的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：$$[ r ( \operatorname{c o s} \theta+\mathrm{i s i n} \theta) ]^{n}$$$$= r^{n} \， \operatorname{c o s} n \theta+\mathrm{i s i n} n \theta， ( n \in{\bf N}_{+} )$$，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，$${{“}}$$$${{n}}$$为偶数$${{”}}$$是$${{“}}$$复数$$\left( \operatorname{c o s} \frac\pi4+\mathrm{i s i n} \frac\pi4 \right)^{m}$$为纯虚数的是（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%下列表示复数$${{1}{+}{i}}$$的三角形式中：①$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right)$$；②$$\sqrt{2} \left[ \operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {4} \right)+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {4} \right]$$；③$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{9 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{9 \pi} {4} \right)$$；④$$\sqrt{2} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$.正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%若复数$$z_{1}=2 \sqrt{6} ( \mathrm{c o s} \pi+\mathrm{i s i n} \pi)，$$复数$$z_{2}=\frac{\sqrt{3}} {3} \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {6}-\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {6} \right)，$$则$${{z}_{1}{{z}_{2}}{=}}$$（）
A
A.$$- \sqrt6+\sqrt2 \mathrm{i}$$
B.$$\sqrt6-\sqrt2 \mathrm{i}$$
C.$$\sqrt{2}+\sqrt{6} \mathrm{i}$$
D.$$\sqrt{2}-\sqrt{6} \mathrm{i}$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率60.0%在复平面中，将复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O N}$$绕原点按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2} ( O$$为坐标原点)，得到的向量为$$\overrightarrow{O N_{1}}，$$那么$$\overrightarrow{O N_{1}}$$对应的复数是（）
A
A.$$\sqrt3-\mathrm{i}$$
B.$$\sqrt{3}+\mathrm{i}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
5、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{s i n} \frac{5 \pi} {4}+\mathrm{i c o s} \frac{5 \pi} {4} \right)$$的代数形式是（）
A
A.$$\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}$$
B.$$- \sqrt2-\sqrt2 \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac{\sqrt2} 2 \mathrm{i}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2-\frac{\sqrt2} 2 \mathrm{i}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$${{−}{{1}{0}}}$$的三角形式是（）
C
A.$$1 0 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {2} \right)$$
B.$$- 1 0 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {2}-\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {2} \right)$$
C.$$1 0 ( \mathrm{c o s} \pi+\mathrm{i s i n} \pi)$$
D.$$1 0 ( \mathrm{s i n} 0+\mathrm{i s i n} 0 )$$
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的有关概念']正确率60.0%复数$$z=2-3 i$$的虚部为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{i}}$$
B.$${{−}{3}{i}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
8、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+b i ( i$$为虚数单位$${{)}}$$都可以写成$$z=r ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta)$$的形式，其中$${{r}{=}{\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}}$$，$$0 \leqslant\theta< 2 \pi.$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac2 {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
9、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {5}+i \mathrm{s i n} \frac{\pi} {5} \right)$$辐角的主值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {5}$$
B.$$\frac{4} {5} \pi$$
C.$$\frac{6} {5} \pi$$
D.$$\frac{9} {5} \pi$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率80.0%在复平面内，$${{O}}$$为坐标原点，复数$${{z}}$$对应的点为$$Z ( 1， 0 )$$，将向量$$\overrightarrow{O Z}$$按逆时针方向旋转$${{3}{0}{°}}$$得到$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$，则$$\overrightarrow{O Z^{\prime}}$$对应的复数$${{z}{^{′}}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac1 2 \mathrm{i}$$
B.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{i}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {2}-\frac{1} {2} \mathrm{i}$$
D.$$\frac1 2-\frac{\sqrt3} 2 \mathrm{i}$$
1. 复数 $$z = \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^n$$ 为纯虚数，当且仅当实部为 0，虚部不为 0。根据棣莫弗定理，$$z = \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}$$。实部为 $$\cos \frac{n\pi}{4} = 0$$，虚部 $$\sin \frac{n\pi}{4} \neq 0$$。
解得 $$\frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$n = 2 + 4k$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），故 $$n$$ 为偶数。但 $$n=2$$ 时，$$z = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$$ 为纯虚数；$$n=6$$ 时，$$z = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$$ 也为纯虚数。反之，若 $$n$$ 为偶数，不一定为纯虚数，如 $$n=4$$ 时，$$z = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$ 为实数。因此是充分不必要条件。
答案：A
2. 复数 $$1 + i$$ 的模为 $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$，辐角主值为 $$\frac{\pi}{4}$$。三角形式为 $$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$。
① 正确；② 错误，正弦部分应为 $$\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$；③ 正确，$$\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$$，与 $$\frac{\pi}{4}$$ 终边相同；④ 错误，正弦部分辐角不一致。
答案：B
3. $$z_1 = 2\sqrt{6} (\cos \pi + i \sin \pi) = -2\sqrt{6}$$，$$z_2 = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right)$$。
乘积模为 $$2\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{2}$$，辐角为 $$\pi + \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{5\pi}{6}$$。
故 $$z_1 z_2 = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{6} + \sqrt{2} i$$。
答案：A
4. 复数 $$1 + \sqrt{3} i$$ 模为 2，辐角为 $$\frac{\pi}{3}$$。顺时针旋转 $$\frac{\pi}{2}$$ 后，新辐角为 $$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$$。
新复数为 $$2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} - i$$。
答案：A
5. 原式 $$-2 \left( \sin \frac{5\pi}{4} + i \cos \frac{5\pi}{4} \right)$$。注意 $$\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
代入得 $$-2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$。
答案：A
6. 复数 $$-10$$ 位于负实轴，模为 10，辐角为 $$\pi$$。三角形式为 $$10 (\cos \pi + i \sin \pi)$$。
答案：C
7. 复数 $$z = a + b i$$ 的虚部为 $$b$$（不含 $$i$$）。故 $$z = 2 - 3i$$ 的虚部为 $$-3$$。
答案：D
8. $$z = \frac{2}{1 - \sqrt{3} i}$$。分母有理化：分子分母同乘 $$1 + \sqrt{3} i$$，得 $$z = \frac{2(1 + \sqrt{3} i)}{1 + 3} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$$。
模为 1，辐角满足 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，$$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
答案：B
9. 复数 $$-2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right)$$。负号相当于模乘 -1，即辐角增加 $$\pi$$，故新辐角为 $$\frac{\pi}{5} + \pi = \frac{6\pi}{5}$$，落在 $$[0, 2\pi)$$ 内，为主值。
答案：C
10. 点 $$Z(1,0)$$ 对应复数 $$z = 1$$，模为 1，辐角为 0。逆时针旋转 $$30^\circ = \frac{\pi}{6}$$ 后，新辐角为 $$\frac{\pi}{6}$$。
新复数为 $$\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$$。
答案：A