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正确率60.0%复数$$z=1-\mathrm{c o s} \theta-\mathrm{i s i n} \theta( \theta\in[ 0， \， \， 2 \pi) )$$的三角形式是（）
C
A.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta+\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta+\pi} {2} \biggr)$$
B.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
C.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta-\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta-\pi} {2} \biggr)$$
D.$$z=2 \mathrm{c o s} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
2、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率80.0%复数$$z=4 \left( \mathrm{c o s} \frac{5 \pi} {4}+\mathrm{i s i n} \frac{5 \pi} {4} \right)$$的代数形式为（）
D
A.$$z=2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
B.$$z=-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
C.$$z=2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
D.$$z=-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%已知复数$$z=-1+\sqrt{3} \mathrm{i}，$$则它的共轭复数$${{z}{¯}}$$的三角形式为（）
C
A.$$\overline{{z}}=2 \left( \mathrm{c o s} \frac{4 \pi} {3}-\mathrm{i s i n} \frac{4 \pi} {3} \right)$$
B.$$\overline{{z}}=-2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {6}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi} {6} \right)$$
C.$$\overline{{z}}=2 \left( \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{4 \pi} {3} \right)$$
D.$$\overline{{z}}=2 \left( \mathrm{c o s} \frac{5 \pi} {3}+\mathrm{i s i n} \frac{5 \pi} {3} \right)$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$z=4 \left( \mathrm{c o s} \frac{3 \pi} {4}+\mathrm{i} \operatorname{s i n} \frac{3 \pi} {4} \right)$$的代数形式为（）
B
A.$$z=2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
B.$$z=-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
C.$$z=2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
D.$$z=-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \mathrm{i}$$
5、['函数的最大(小)值'， '复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%已知$$z=x+y i ~ ( \ x， \ y \in R )$$且$$| z |=1$$，则$${{x}{+}{\sqrt {3}}{y}}$$的最大值（）
B
A.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的除法']正确率60.0%若复数$$z=\frac{2 i} {1-i} ( i$$为虚数单位$${{)}}$$，则复数$${{z}}$$对应的点在第
B
A.一象限
B.二象限
C.三象限
D.四象限
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的模'， '辐角的主值']正确率80.0%复数都可以表示为$$z=| z | ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta) ( 0 \leqslant\theta< 2 \pi)$$，其中$${{|}{z}{|}}$$为$${{z}}$$的模，$${{θ}}$$称为$${{z}}$$的辐角$${{.}}$$已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{( 1-i )^{2}} {z}=1+i$$，则$${{z}}$$的辐角为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
9、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%复数$$- 2 \left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {5}+i \mathrm{s i n} \frac{\pi} {5} \right)$$辐角的主值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {5}$$
B.$$\frac{4} {5} \pi$$
C.$$\frac{6} {5} \pi$$
D.$$\frac{9} {5} \pi$$
10、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%任意复数$$z=a+\mathrm{b i} ( a， b \in R， i )$$为虚数单位$${{)}}$$都可以$$z=r ( \operatorname{c o s} ~ \theta+i \operatorname{s i n} ~ \theta)$$的形式，其中$$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}， 0 \leqslant\theta< 2 \pi)$$该形式为复数的三角形式，其中$${{θ}}$$称为复数的辐角主值．若复数$$z=\frac{2 i} {1-\sqrt{3} i}$$，则$${{z}}$$的辐角主值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
1. 解析：
复数 $$z=1-\cos \theta -i \sin \theta$$ 可以改写为：
$$z = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2} \right)$$
利用三角恒等式 $$\sin \frac{\theta}{2} = \cos \left( \frac{\pi - \theta}{2} \right)$$ 和 $$\cos \frac{\theta}{2} = \sin \left( \frac{\pi - \theta}{2} \right)$$，可以进一步表示为：
$$z = 2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\pi - \theta}{2} - i \sin \frac{\pi - \theta}{2} \right)$$
由于三角形式要求系数为正，且角度在 $$[0, 2\pi)$$ 范围内，因此正确答案为 B。
2. 解析：
复数 $$z = 4 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right)$$ 的代数形式为：
$$z = 4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$$
因此正确答案为 D。
3. 解析：
复数 $$z = -1 + \sqrt{3}i$$ 的共轭复数为 $$\overline{z} = -1 - \sqrt{3}i$$。
其模为 $$|\overline{z}| = 2$$，辐角为 $$\frac{4\pi}{3}$$（因为点在第三象限）。
因此三角形式为：
$$\overline{z} = 2 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)$$
正确答案为 C。
4. 解析：
复数 $$z = 4 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$$ 的代数形式为：
$$z = 4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$$
因此正确答案为 B。
5. 解析：
由 $$|z| = 1$$，复数 $$z = x + yi$$ 满足 $$x^2 + y^2 = 1$$。
表达式 $$x + \sqrt{3}y$$ 可以视为向量 $$(1, \sqrt{3})$$ 与 $$(x, y)$$ 的点积，其最大值为：
$$\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \cdot 1 = 2$$
因此正确答案为 B。
6. 解析：
复数 $$z = \frac{2i}{1 - i}$$ 化简为：
$$z = \frac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2i - 2}{2} = -1 + i$$
对应点为 $$(-1, 1)$$，位于第二象限，因此正确答案为 B。
7. 解析：
由方程 $$\frac{(1 - i)^2}{z} = 1 + i$$，解得：
$$z = \frac{(1 - i)^2}{1 + i} = \frac{-2i}{1 + i} = \frac{-2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2i - 2}{2} = -1 - i$$
复数 $$z = -1 - i$$ 的辐角为 $$\frac{5\pi}{4}$$，因此正确答案为 C。
9. 解析：
复数 $$-2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right)$$ 可以表示为：
$$2 \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{5} \right) + i \sin \left( \pi + \frac{\pi}{5} \right) \right) = 2 \left( \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5} \right)$$
因此辐角主值为 $$\frac{6\pi}{5}$$，正确答案为 C。
10. 解析：
复数 $$z = \frac{2i}{1 - \sqrt{3}i}$$ 化简为：
$$z = \frac{2i(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)} = \frac{-2\sqrt{3} + 2i}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$
其辐角主值为 $$\frac{5\pi}{6}$$（点在第二象限），因此正确答案为 D。