.jpg)
正确率60.0%欧拉$$\， \gets\， \gets\， \gets\， \gets\， \hphantom{\frac{1} {2}} \， L e o n h a r d E u l e r$$，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x \left( i \right)$$为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为$${{“}}$$数学中的天桥$${{”}}$$，根据此公式可知，$$e^{-4 i}$$表示的复数在复平面中位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、['复平面内的点、复数及平面向量'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%$${{1}{7}{4}{8}}$$年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式$$e^{i x}=\operatorname{c o s} x+i \operatorname{s i n} x$$，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为$${{“}}$$数学中的天桥$${{”}}$$，根据此公式可知，$$e^{2 i}$$表示的复数所对应的点在复平面中位于（）
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、['复数的代数形式与三角形式的互化']正确率60.0%复数$$z=1-\mathrm{c o s} \theta-\mathrm{i s i n} \theta( \theta\in[ 0， \， \， 2 \pi) )$$的三角形式是（）
C
A.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta+\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta+\pi} {2} \biggr)$$
B.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
C.$$z=2 \mathrm{s i n} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\theta-\pi} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\theta-\pi} {2} \biggr)$$
D.$$z=2 \mathrm{c o s} \frac{\theta} {2} \biggl( \mathrm{c o s} \frac{\pi-\theta} {2}+\mathrm{i s i n} \frac{\pi-\theta} {2} \biggr)$$
4、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义']正确率60.0%在复平面中，将复数$${{1}{+}{\sqrt {3}}{i}}$$对应的向量$$\overrightarrow{O N}$$绕原点按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2} ( O$$为坐标原点)，得到的向量为$$\overrightarrow{O N_{1}}，$$那么$$\overrightarrow{O N_{1}}$$对应的复数是（）
A
A.$$\sqrt3-\mathrm{i}$$
B.$$\sqrt{3}+\mathrm{i}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{i}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}{+}{i}}$$
5、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的乘法'， '辐角的主值']正确率60.0%若复数$$z=( a+\mathrm{i} )^{2}$$的辐角的主值是$$\frac{3 \pi} {2}，$$则实数$${{a}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
6、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '共轭复数']正确率40.0%在复平面内，复数$${{z}}$$满足$$z ( 1-\mathrm{i} )=2$$，则$${{z}}$$的共轭复数对应的点位于（）
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
7、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '复数的模'， '辐角的主值']正确率80.0%复数都可以表示为$$z=| z | ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta) ( 0 \leqslant\theta< 2 \pi)$$，其中$${{|}{z}{|}}$$为$${{z}}$$的模，$${{θ}}$$称为$${{z}}$$的辐角$${{.}}$$已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{( 1-i )^{2}} {z}=1+i$$，则$${{z}}$$的辐角为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
9、['复数的代数形式与三角形式的互化'， '辐角的主值']正确率80.0%复数都可以表示为$$z=| z | ( \operatorname{c o s} \theta+i \operatorname{s i n} \theta) ( 0 \leqslant\theta< 2 \pi)$$，其中$${{|}{z}{|}}$$为$${{z}}$$的模，$${{θ}}$$称为$${{z}}$$的辐角．已知复数$${{z}}$$满足$$\frac{\left( 1-\mathrm{i} \right)^{2}} {z}=1+\mathrm{i}$$，则$${{z}}$$的辐角为
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
10、['复数三角形式的乘法运算及其几何意义'， '复数的代数形式与三角形式的互化'， '复平面内的点、复数及平面向量']正确率80.0%复数$$z=\operatorname{c o s} \frac\pi3+i \operatorname{s i n} \frac\pi3$$，则在复平面内，复数$${{z}^{2}}$$对应的点在$${{(}{)}}$$
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1. 根据欧拉公式 $$e^{i x} = \cos x + i \sin x$$，代入 $$x = -4$$ 得：$$e^{-4i} = \cos(-4) + i \sin(-4) = \cos 4 - i \sin 4$$。因为 $$4$$ 弧度位于第三象限，$$\cos 4 < 0$$ 且 $$\sin 4 < 0$$，所以实部为负，虚部为正，复数位于第二象限。答案为 B。
2. 代入 $$x = 2$$ 得：$$e^{2i} = \cos 2 + i \sin 2$$。$$2$$ 弧度位于第二象限，$$\cos 2 < 0$$ 且 $$\sin 2 > 0$$，复数位于第二象限。答案为 B。
3. 复数 $$z = 1 - \cos \theta - i \sin \theta$$ 可化简为：$$z = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2} \right)$$。利用三角恒等式，进一步化为 $$2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\pi - \theta}{2} + i \sin \frac{\pi - \theta}{2} \right)$$。答案为 B。
4. 复数 $$1 + \sqrt{3}i$$ 的极坐标形式为 $$2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$。顺时针旋转 $$\frac{\pi}{2}$$ 后，角度变为 $$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$$，对应复数为 $$2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) = \sqrt{3} - i$$。答案为 A。
5. 复数 $$z = (a + i)^2 = a^2 - 1 + 2ai$$，其辐角主值为 $$\frac{3\pi}{2}$$，说明实部 $$a^2 - 1 = 0$$ 且虚部 $$2a < 0$$，解得 $$a = -1$$。答案为 B。
6. 解方程 $$z(1 - i) = 2$$ 得 $$z = \frac{2}{1 - i} = 1 + i$$，其共轭复数为 $$1 - i$$，对应点 $$(1, -1)$$ 位于第四象限。答案为 D。
7. 化简方程 $$\frac{(1 - i)^2}{z} = 1 + i$$ 得 $$z = \frac{(1 - i)^2}{1 + i} = \frac{-2i}{1 + i} = -1 - i$$。辐角为 $$\frac{5\pi}{4}$$。答案为 C。
9. 同第7题，答案为 C。
10. 复数 $$z = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$$，平方后 $$z^2 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}$$，位于第二象限。答案为 B。