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正确率60.0%某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为$$p， ~ \frac{1} {2}， ~ \frac{2} {3}，$$该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为$$\frac{3} {8}，$$则$${{p}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
3、['相互独立事件的概率']正确率60.0%甲、乙两名同学参加一场射击比赛，比赛规定：每射击一次击中目标得$${{2}}$$分，未击中目标得$${{0}}$$分.若甲、乙两人射击的命中率分别为$${{0}{.}{6}}$$和$${{p}{，}}$$且甲、乙两人各射击一次得分之和为$${{2}}$$的概率为$${{0}{.}{4}{5}}$$.假设甲、乙两人射击互不影响，则$${{p}}$$的值为（）
B
A.$${{0}{.}{8}}$$
B.$${{0}{.}{7}{5}}$$
C.$${{0}{.}{6}}$$
D.$${{0}{.}{2}{5}}$$
4、['互斥事件的概率加法公式'， '相互独立事件的概率'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%已知甲射击一次命中目标的概率为$${{0}{.}{6}{，}}$$乙射击一次命中目标的概率为$${{0}{.}{5}{，}}$$假设甲、乙两人射击命中与否互不影响.若甲、乙两人同时向同一目标射击一次，射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（）
B
A.$${{0}{.}{8}}$$
B.$${{0}{.}{7}{5}}$$
C.$${{0}{.}{6}}$$
D.$${{0}{.}{4}{8}}$$
5、['统计与概率的应用'， '互斥事件的概率加法公式'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为$${{0}{.}{5}}$$，若二人合为一组则该组破译的概率为$${{0}{.}{8}}$$，若三人合为一组则该组破译的概率为$${{0}{.}{9}}$$，若四人合作则破译的概率提升到$${{0}{.}{9}{4}}$$．为完成此项工作，现有四种方案，方案$${{1}}$$：四人独立翻译；方案$${{2}}$$：分为两组每组两人，两组独立翻译：方案$${{3}}$$：分为两组，一组三人、一组一人，两组独立翻译；方案$${{4}}$$：四人一组合作翻译．则密码能被译出的概率最大的是（）
B
A.方案$${{1}}$$
B.方案$${{2}}$$
C.方案$${{3}}$$
D.方案$${{4}}$$
6、['事件的互斥与对立'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%甲$${、}$$乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是$${{0}{.}{9}}$$，乙生解答正确的概率是$${{0}{.}{8}}$$，那么至少有一学生解答正确的概率是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{0}{.}{2}{6}}$$
B.$${{0}{.}{2}{8}}$$
C.$${{0}{.}{7}{2}}$$
D.$${{0}{.}{9}{8}}$$
8、['互斥事件的概率加法公式'， '相互独立事件的概率'， '概率与统计中的新定义']正确率40.0%投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如$${{“}}$$贯耳(投入壶耳$${{)}{”}{.}}$$每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得$${{1}}$$分$${{.}}$$投入壶耳一次得$${{2}}$$分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的$${{)}}$$，甲四支箭已投完，共得$${{3}}$$分，乙投完$${{2}}$$支箭，目前只得$${{1}}$$分，乙投中壶口的概率为$$\frac{1} {3}$$，投中壶耳的概率为$$\frac{1} {5}$$$${{.}}$$四支箭投完，以得分多者赢，请问乙赢得这局比赛的概率为（）
A
A.$$\frac{1 3} {7 5}$$
B.$$\frac{3} {7 5}$$
C.$$\frac{8} {1 5}$$
D.$$\frac{8} {7 5}$$
9、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%日常生活中，常听到一些谚语$${、}$$俗语，比如$${{“}}$$三个臭皮匠，顶个诸葛亮$${{”}}$$，这句话有没有道理呢？我们假设三个臭皮匠中的老大$${、}$$老二$${、}$$老三能独立解出同一道问题的概率依次是$${{0}{.}{6}{，}{{0}{.}{6}}{，}{{0}{.}{5}}}$$，而诸葛亮能独立解出同一道问题的概率是$${{0}{.}{9}}$$，则三个臭皮匠与诸葛亮解出同一道问题的概率较大的是$${{(}{)}}$$
A
A.三个臭皮匠
B.诸葛亮
C.一样大
D.无法确定
10、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%有$${{6}}$$个相同的球，分别标有数字$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{4}}$$，$${{5}}$$，$${{6}}$$，从中有放回的随机取两次，每次取$${{1}}$$个球，甲表示事件$${{“}}$$第一次取出的球的数字是$${{1}{”}}$$，乙表示事件$${{“}}$$第二次取出的球的数字是$${{2}{”}}$$，丙表示事件$${{“}}$$两次取出的球的数字之和是$${{8}{”}}$$，丁表示事件$${{“}}$$两次取出的球的数字之和是$${{7}{”}}$$，则（）
B
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
以下是各题目的详细解析：
2、投篮概率问题
该同学在甲、乙、丙三个位置投篮，恰好投中两次的概率为 $$ \frac{3}{8} $$。设投中次数为2，可能情况为：
1. 甲、乙投中，丙不中：$$ p \times \frac{1}{2} \times \left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{p}{6} $$
2. 甲、丙投中，乙不中：$$ p \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) \times \frac{2}{3} = \frac{p}{3} $$
3. 乙、丙投中，甲不中：$$ (1 - p) \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 - p}{3} $$
总概率为 $$ \frac{p}{6} + \frac{p}{3} + \frac{1 - p}{3} = \frac{3}{8} $$，解得 $$ p = \frac{1}{4} $$。
答案为 A。
3、射击比赛得分问题
甲、乙两人各射击一次，得分之和为2的情况有两种：
1. 甲中乙不中：$$ 0.6 \times (1 - p) $$
2. 甲不中乙中：$$ (1 - 0.6) \times p $$
总概率为 $$ 0.6(1 - p) + 0.4p = 0.45 $$，解得 $$ p = 0.75 $$。
答案为 B。
4、目标命中概率问题
已知目标至少被命中一次，求甲命中的条件概率。先计算至少命中一次的概率：
$$ 1 - (1 - 0.6)(1 - 0.5) = 0.8 $$
甲命中的概率为 $$ 0.6 $$，因此在至少命中一次的条件下，甲命中的概率为 $$ \frac{0.6}{0.8} = 0.75 $$。
答案为 B。
5、密码破译方案问题
计算各方案的成功概率：
1. 方案1（四人独立）：$$ 1 - (1 - 0.5)^4 = 0.9375 $$
2. 方案2（两组两人）：$$ 1 - (1 - 0.8)^2 = 0.96 $$
3. 方案3（一组三人、一组一人）：$$ 1 - (1 - 0.9)(1 - 0.5) = 0.95 $$
4. 方案4（四人合作）：$$ 0.94 $$
最大概率为方案2的 $$ 0.96 $$。
答案为 B。
6、至少一人解答正确问题
至少一人正确的概率为：
$$ 1 - (1 - 0.9)(1 - 0.8) = 0.98 $$。
答案为 D。
8、投壶比赛赢的概率问题
乙目前得1分，剩余两支箭需得分超过甲（甲得3分）。乙需在剩余两支箭中得3分或4分：
1. 得3分：一支箭得2分，另一支得1分，概率为 $$ 2 \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} $$。
2. 得4分：两支箭均得2分，概率为 $$ \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} $$。
总概率为 $$ \frac{2}{15} + \frac{1}{25} = \frac{13}{75} $$。
答案为 A。
9、三个臭皮匠与诸葛亮问题
三个臭皮匠至少一人解出问题的概率为：
$$ 1 - (1 - 0.6)(1 - 0.6)(1 - 0.5) = 0.92 $$。
诸葛亮解出问题的概率为 $$ 0.9 $$，因此臭皮匠概率更大。
答案为 A。
10、独立事件判断问题
计算各事件的独立性：
1. 甲与丙：$$ P(甲) = \frac{1}{6} $$，$$ P(丙) = \frac{5}{36} $$，$$ P(甲 \cap 丙) = \frac{1}{36} $$，不独立。
2. 甲与丁：$$ P(丁) = \frac{6}{36} $$，$$ P(甲 \cap 丁) = \frac{1}{36} $$，独立。
3. 乙与丙：不独立。
4. 丙与丁：互斥，不独立。
答案为 B。