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正确率60.0%已知$$P ( A ) > 0， \， \， \， P ( B | A )+P ( \bar{B} )=1，$$则事件$${{A}}$$与事件$${{B}}$$（）
C
A.互斥
B.对立
C.独立
D.以上均不正确
2、['相互独立事件的概念'， '事件的互斥与对立']正确率80.0%若$$P ( A B )=\frac{1} {9}， \， \， \， P ( \overline{{A}} )=\frac{2} {3}， \， \， \， P ( B )=\frac{1} {3}，$$则事件$${{A}}$$与$${{B}}$$的关系是（）
C
A.事件$${{A}}$$与$${{B}}$$互斥
B.事件$${{A}}$$与$${{B}}$$对立
C.事件$${{A}}$$与$${{B}}$$相互独立
D.事件$${{A}}$$与$${{B}}$$不相互独立
3、['相互独立事件的概念'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%甲箱中有$${{5}}$$个红球、$${{2}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球，乙箱中有$${{4}}$$个红球、$${{3}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球$${{.}}$$先从甲箱中随机取出$${{1}}$$个球放入乙箱，分别以事件$${{A}_{1}}$$，$${{A}_{2}}$$，$${{A}_{3}}$$表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出$${{1}}$$个球，记事件$${{B}{=}}$$“由乙箱中取出的球是红球”$${{.}}$$则下列结论正确的是（）
B
A.$$P ( B )=$$$$\frac{2} {5}$$
B.$$P ( B | A_{1}$$$${{)}{=}}$$$$\frac{5} {1 1}$$
C.事件$${{B}}$$与事件$${{A}_{1}}$$相互独立
D.$${{P}{(}{{A}_{1}}}$$$${{)}{=}}$$$$\frac{3} {1 0}$$
4、['相互独立事件的概念'， '事件的互斥与对立'， '事件的包含与相等']正确率80.0%假定生男孩和生女孩是等可能的$${{.}}$$若一个家庭中有三个小孩，记事件$${{A}{=}{“}}$$家庭中没有女孩$${{”}}$$，$${{B}{=}{“}}$$家庭中最多有一个女孩$${{”}}$$，$${{C}{=}{“}}$$家庭中至少有两个女孩$${{”}}$$，$${{D}{=}{“}}$$家庭中既有男孩又有女孩$${{”}}$$，则下列判断错误的是（）
D
A.$${{A}}$$与$${{C}}$$互斥
B.$${{A}{⊆}{B}}$$
C.$${{B}}$$与$${{C}}$$互为对立
D.$${{B}}$$与$${{D}}$$相互独立
5、['相互独立事件的概念']正确率40.0%某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为$$p_{1}， p_{2}， p_{3}$$，且$$p_{3} > p_{2} > p_{1} > 0$$．记该棋手连胜两盘的概率为$${{p}}$$，则（）
D
A.$${{p}}$$与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，$${{p}}$$最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，$${{p}}$$最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，$${{p}}$$最大
6、['古典概型的概率计算公式'， '相互独立事件的概念'， '事件的互斥与对立'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4$$的正四面体一次.记事件$${{A}{=}}$$｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；事件$${{B}{=}}$$｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；$${{C}{=}}$$｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数｝.
给出下列结论:①$$P ( A )={\frac{1} {2}}$$；②$$P ( A B )=\frac{1} {4}$$；③$$P ( A B C )=\frac{1} {8}$$.其中正确的结论个数为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%天气预报，在未来一周甲地降雨的概率为$${{0}{.}{2}}$$，乙地降雨的概率为$${{0}{.}{3}}$$.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一地降雨的概率为（）
C
A.$${{0}{.}{9}{4}}$$
B.$${{0}{.}{5}{6}}$$
C.$${{0}{.}{4}{4}}$$
D.$${{0}{.}{0}{6}}$$
8、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%日常生活中，常听到一些谚语$${、}$$俗语，比如$${{“}}$$三个臭皮匠，顶个诸葛亮$${{”}}$$，这句话有没有道理呢？我们假设三个臭皮匠中的老大$${、}$$老二$${、}$$老三能独立解出同一道问题的概率依次是$$0. 6， ~ 0. 6， ~ 0. 5$$，而诸葛亮能独立解出同一道问题的概率是$${{0}{.}{9}}$$，则三个臭皮匠与诸葛亮解出同一道问题的概率较大的是$${{(}{)}}$$
A
A.三个臭皮匠
B.诸葛亮
C.一样大
D.无法确定
9、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率40.0%甲$${、}$$乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为$${{0}{.}{4}}$$，乙每次投篮命中的概率为$${{0}{.}{6}}$$，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为$${{X}}$$，若甲先投，则$$P ( X=k )$$等于（）
B
A.$$0. 6^{k-1} \times0. 4$$
B.$$0. 2 4^{k-1} \times0. 7 6$$
C.$$0. 4^{k-1} \times0. 6$$
D.$$0. 7 6^{k-1} \times0. 2 4$$
10、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%每次试验的成功率为$$p ( 0 < p < 1 )$$，重复进行$${{1}{0}}$$次试验，其中前$${{7}}$$次都未成功后$${{3}}$$次都成功的概率为（）
C
A.$$C_{1 0}^{3} p^{3} ( 1-p )^{7}$$
B.$$C_{1 0}^{3} p^{3} \left( 1-p \right)^{3}$$
C.$$p^{3} \left( 1-p \right)^{7}$$
D.$$p^{7} \left( 1-p \right)^{3}$$
1、题目给出 $$P(A) > 0$$ 和 $$P(B|A) + P(\overline{B}) = 1$$。由条件概率定义，$$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$，代入得： $$\frac{P(AB)}{P(A)} + P(\overline{B}) = 1$$ 因为 $$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$$，代入化简： $$\frac{P(AB)}{P(A)} + 1 - P(B) = 1 \implies \frac{P(AB)}{P(A)} = P(B)$$ 即 $$P(AB) = P(A)P(B)$$，说明事件 $$A$$ 与 $$B$$ 独立。故选 **C**。
2、已知 $$P(AB) = \frac{1}{9}$$，$$P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$$，$$P(B) = \frac{1}{3}$$。首先计算 $$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = \frac{1}{3}$$。验证独立性： $$P(A)P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = P(AB)$$ 因此 $$A$$ 与 $$B$$ 相互独立，故选 **C**。
3、甲箱有 5 红、2 白、3 黑球，乙箱有 4 红、3 白、3 黑球。先计算 $$P(A_1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$（选项 D 错误）。若从甲箱取出红球放入乙箱，乙箱变为 5 红、3 白、3 黑球，此时 $$P(B|A_1) = \frac{5}{11}$$（选项 B 正确）。总概率 $$P(B)$$ 需考虑三种情况： $$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) = \frac{5}{11} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{11} \times \frac{1}{5} + \frac{4}{11} \times \frac{3}{10} = \frac{25}{110} + \frac{8}{110} + \frac{12}{110} = \frac{45}{110} = \frac{9}{22}$$ 选项 A 错误。验证独立性： $$P(B|A_1) = \frac{5}{11} \neq P(B) = \frac{9}{22}$$，故不独立，选项 C 错误。综上，仅 **B** 正确。
4、家庭有三个小孩，生男孩和女孩概率均为 $$\frac{1}{2}$$。事件定义： - $$A$$：无女孩（全男孩），概率 $$P(A) = \frac{1}{8}$$。 - $$B$$：最多一个女孩（0 或 1 女孩），概率 $$P(B) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$$。 - $$C$$：至少两个女孩（2 或 3 女孩），概率 $$P(C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$$。 - $$D$$：既有男孩又有女孩，概率 $$P(D) = 1 - P(A) - P(\text{全女孩}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$。 验证选项： - **A**：$$A$$ 与 $$C$$ 互斥（不能同时发生），正确。 - **B**：$$A \subseteq B$$（无女孩属于最多一个女孩），正确。 - **C**：$$B$$ 与 $$C$$ 对立（互补），正确。 - **D**：$$P(B \cap D) = P(\text{恰好 1 女孩}) = \frac{3}{8}$$，而 $$P(B)P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$$，故独立，但题目要求选错误判断，因此 **D** 实际正确，但题目可能误标，需重新审题。原题可能指 $$B$$ 与 $$D$$ 不独立，但计算表明独立，故无错误选项。可能是题目描述问题。
5、棋手与甲、乙、丙比赛获胜概率为 $$p_1, p_2, p_3$$。连胜两盘的概率 $$p$$ 取决于比赛顺序： - 顺序甲、乙、丙：$$p = p_1p_2(1-p_3) + (1-p_1)p_2p_3$$。 - 顺序乙、甲、丙：$$p = p_2p_1(1-p_3) + (1-p_2)p_1p_3$$。 - 顺序丙、甲、乙：$$p = p_3p_1(1-p_2) + (1-p_3)p_1p_2$$。 由于 $$p_3 > p_2 > p_1$$，最大 $$p$$ 出现在第二盘为丙时（中间概率最高），故选 **D**。
6、正四面体标有 1, 2, 3, 4，偶数概率为 $$\frac{1}{2}$$（①正确）。$$A$$ 与 $$B$$ 独立，故 $$P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$（②正确）。$$ABC$$ 表示第一个偶数且第二个奇数且同奇偶，不可能发生（因为偶数与奇数不同奇偶），故 $$P(ABC) = 0$$（③错误）。综上，**C**（2 个正确）。
7、甲地降雨概率 $$0.2$$，乙地 $$0.3$$，独立。至少一地降雨的概率为： $$1 - P(\text{甲不降})P(\text{乙不降}) = 1 - 0.8 \times 0.7 = 1 - 0.56 = 0.44$$ 故选 **C**。
8、三个臭皮匠至少一人解出问题的概率为： $$1 - (1-0.6)(1-0.6)(1-0.5) = 1 - 0.4 \times 0.4 \times 0.5 = 1 - 0.08 = 0.92$$ 诸葛亮解出概率为 $$0.9$$，故臭皮匠概率更大，选 **A**。
9、甲先投，轮数 $$X=k$$ 表示前 $$k-1$$ 轮均未投中，第 $$k$$ 轮投中。概率为： $$P(X=k) = (0.6 \times 0.4)^{k-1} \times (0.4 + 0.6 \times 0.6) = 0.24^{k-1} \times 0.76$$ 故选 **B**。
10、前 7 次失败后 3 次成功的概率为 $$(1-p)^7 p^3$$，与组合数无关，故选 **C**。
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