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正确率80.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年初，新冠病毒肺炎$$( C O V I D-1 9 )$$疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来，截止今天仍在全国大规模蔓延；现某地决定进行全面入户排查$${{4}}$$类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者$${{.}}$$在排查期间，一户$${{6}}$$口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”$${{.}}$$设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为$$p ( 0 < p < 1 )$$且相互独立，该家庭至少检测了$${{5}}$$个人才能确定为“感染高危户”的概率为$${{f}{(}{p}{)}}$$，当$${{p}{=}{{p}_{0}}}$$时，$${{f}{(}{p}{)}}$$最大，则$$p_{0}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$1-\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$1-\frac{\sqrt6} {3}$$
2、['二项分布与n重伯努利试验'， '相互独立事件的概率']正确率80.0%在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的$${{5}}$$名同学的投篮命中率分别为$$\frac{3} {5}$$，$$\frac{1} {2}$$，$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$，$$\frac{3} {4}$$，$$\frac{1} {3}$$，每人均有$${{1}{0}}$$次投篮机会，至少投中$${{6}}$$次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有$${{(}{)}{.}}$$
A.$${{1}}$$人
B.$${{2}}$$人
C.$${{3}}$$人
D.$${{4}}$$人
3、['二项分布与n重伯努利试验'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有$${{8}{0}{%}}$$的概率不会感染这种病毒，若有$${{4}}$$人接种了这种疫苗，则最多$${{1}}$$人被感染的概率为（）
A
A.$$\frac{5 1 2} {6 2 5}$$
B.$$\frac{2 5 6} {6 2 5}$$
C.$$\frac{1 1 3} {6 2 5}$$
D.$$\frac{1} {6 2 5}$$
4、['二项分布与n重伯努利试验'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%某同学上学的路上有$${{4}}$$个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率都为$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$，则该同学在上学的路上至少遇到$${{2}}$$次绿灯的概率为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{7} {8}$$
D.$$\frac{8} {9}$$
5、['事件的互斥与对立'， '相互独立事件的概率'， '条件概率的概念及公式']正确率60.0%已知$$0 < ~ P ( A ) < ~ 1$$，且$$P ( B | A )=P ( B )$$.若$$P ( \overline{{A}} )=0. 6$$，$$P ( B | \overline{{A}} )=0. 2$$，则$$P ( A B )=$$（）
D
A.$${{0}{.}{1}{2}}$$
B.$${{0}{.}{8}}$$
C.$${{0}{.}{3}{2}}$$
D.$${{0}{.}{0}{8}}$$
6、['相互独立事件的概率'， '随机事件发生的概率']正确率60.0%德国心理学家艾宾浩斯$$( \mathrm{H. \， E b b i n g h a u s} )$$研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义，即不是词的音节)作为记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示).结合艾宾浩斯记忆遗忘曲线，以频率代替概率，不考虑其他因素，若$${{1}}$$名学生背了$${{1}{0}{0}}$$个英语单词，$${{1}}$$天后，该学生在这$${{1}{0}{0}}$$个英语单词中随机听写$${{2}}$$个英语单词，则该学生恰有$${{1}}$$个单词不会的概率大约为（）
B
A.$${{0}{.}{4}{3}}$$
B.$${{0}{.}{3}{8}}$$
C.$${{0}{.}{2}{6}}$$
D.$${{0}{.}{1}{5}}$$
7、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%某机械零件由$${{2}}$$道工序组成，第一道工序的废品率为$${{a}}$$，第二道工序的废品率为$${{b}}$$，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）
A
A.$$a b-a-b+1$$
B.$$1-a-b$$
C.$${{1}{−}{a}{b}}$$
D.$$1-2 a b$$
8、['相互独立事件的概率']正确率60.0%甲$${、}$$乙两个人投篮，他们投进篮的概率分别为$$\frac{2} {5}， \frac{1} {2}，$$现甲$${、}$$乙两人各投篮$${{1}}$$次，则两个人都投进的概率是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{3} {1 0}$$
C.$$\frac{9} {1 0}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
9、['相互独立事件的概率']正确率60.0%某校有第一$${、}$$第二两个食堂，三名同学等可能地选择一个食堂就餐，则他们恰好都选择第一食堂的概率为（）
A
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['相互独立事件的概念'， '互斥事件的概率加法公式'， '事件的互斥与对立'， '相互独立事件的概率']正确率60.0%掷一枚硬币两次，记事件$${{A}}$$为“第一次出现正面”$${{，}{B}}$$为“第二次出现反面”，下列结论正确的为（）
A
A.$${{A}}$$与$${{B}}$$相互独立
B.$$P ( A \cup B )=P ( A )+P ( B )$$
C.$${{A}}$$与$${{B}}$$互斥
D.$$P ( A B )={\frac{1} {2}}$$
1. 解析：
家庭至少检测5个人才能确定为“感染高危户”意味着前4个人检测均为阴性，第5个人检测为阳性或前5个人检测均为阴性，第6个人检测为阳性。概率为：
$$f(p) = (1-p)^4 \cdot p + (1-p)^5 \cdot p = p(1-p)^4(2-p)$$
对$$f(p)$$求导并令导数为0：
$$f'(p) = (1-p)^4(2-p) + p \cdot (-4)(1-p)^3(2-p) + p(1-p)^4(-1) = 0$$
化简得：
$$(1-p)^3[ (1-p)(2-p) -4p(2-p) -p(1-p) ] = 0$$
解得$$p_0 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$$，故选D。
2. 解析：
计算每名同学晋级概率（至少投中6次）：
$$P_1 = P(X \geq 6)$$，其中$$X \sim B(10, \frac{3}{5})$$，约为0.633；
$$P_2 = P(X \geq 6)$$，其中$$X \sim B(10, \frac{1}{2})$$，约为0.377；
$$P_3 = P(X \geq 6)$$，其中$$X \sim B(10, \frac{2}{3})$$，约为0.787；
$$P_4 = P(X \geq 6)$$，其中$$X \sim B(10, \frac{3}{4})$$，约为0.922；
$$P_5 = P(X \geq 6)$$，其中$$X \sim B(10, \frac{1}{3})$$，约为0.015。
总晋级人数期望为$$0.633 + 0.377 + 0.787 + 0.922 + 0.015 \approx 2.734$$，大约2人，故选B。
3. 解析：
最多1人被感染的概率为0人被感染或1人被感染的概率：
$$P = (0.8)^4 + C(4,1) \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^3 = 0.4096 + 0.4096 = 0.8192 = \frac{512}{625}$$，故选A。
4. 解析：
至少遇到2次绿灯的概率为1减去遇到0次或1次绿灯的概率：
$$P = 1 - C(4,0) \left(\frac{1}{3}\right)^4 - C(4,1) \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1 - \frac{1}{81} - \frac{8}{81} = \frac{72}{81} = \frac{8}{9}$$，故选D。
5. 解析：
由$$P(B|A) = P(B)$$可知A与B独立，因此：
$$P(AB) = P(A)P(B)$$。
由全概率公式：
$$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = P(B) \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.6$$
解得$$P(B) = 0.12 / 0.6 = 0.2$$，因此$$P(AB) = 0.4 \times 0.2 = 0.08$$，故选D。
6. 解析：
根据遗忘曲线，1天后遗忘比例约为40%，因此不会的单词数约为40个，会的单词数约为60个。
恰有1个单词不会的概率为：
$$P = \frac{C(40,1) \cdot C(60,1)}{C(100,2)} \approx \frac{2400}{4950} \approx 0.4848$$，最接近选项A（0.43），故选A。
7. 解析：
产品合格需两道工序均合格，概率为$$(1-a)(1-b) = 1 - a - b + ab$$，故选A。
8. 解析：
甲投进的概率为$$\frac{2}{5}$$，乙投进的概率为$$\frac{1}{2}$$，两人独立，因此都投进的概率为$$\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$$，故选A。
9. 解析：
每名同学选择第一食堂的概率为$$\frac{1}{2}$$，三人独立，因此都选择第一食堂的概率为$$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$，故选A。
10. 解析：
掷硬币两次独立，$$A$$与$$B$$独立，A正确；
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$，B错误；
$$A$$与$$B$$可同时发生（正反），不互斥，C错误；
$$P(AB) = \frac{1}{4}$$，D错误。故选A。