相互独立事件的概念-10.2 事件的相互独立性知识点月考基础选择题自测题解析-四川省等高二数学必修,平均正确率84.0%

1、['相互独立事件的概念']

正确率60.0%一个质地均匀的正八面体的八个面分别标有数字$${{1}}$$到$${{8}{，}}$$任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为$${{x}}$$.若设事件$${{A}{=}}$$“$${{x}}$$为奇数”，事件$${{B}{=}}$$“$${{x}}$$为偶数”，事件$${{C}{=}}$$“$${{x}}$$为$${{3}}$$的倍数”，事件$${{D}{=}}$$“$${{x}{⩽}{3}}$$”，则下列各组事件中是相互独立事件的是（）

A.事件$${{A}}$$与事件$${{B}}$$

B.事件$${{B}}$$与事件$${{C}}$$

C.事件$${{A}}$$与事件$${{D}}$$

D.事件$${{C}}$$与事件$${{D}}$$

4、['相互独立事件的概念'， '相互独立事件的概率']

正确率60.0%分别抛掷$${{2}}$$枚质地均匀的硬币，设$${{A}}$$是事件$${{“}}$$第一枚为正面$${{”}{，}{B}}$$是事件$${{“}}$$第二枚为正面$${{”}{，}{C}}$$是事件$${{“}{2}}$$枚结果相同$${{”}}$$．则事件$${{A}}$$与$${{B}}$$，事件$${{B}}$$与$${{C}}$$，事件$${{A}}$$与$${{C}}$$中相互独立的有（）

A.$${{0}}$$个

B.$${{1}}$$个

C.$${{2}}$$个

D.$${{3}}$$个

6、['相互独立事件的概念'， '事件的互斥与对立']

正确率60.0%从装有$${{2}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是

A.$${{“}}$$恰有两个白球$${{”}}$$与$${{“}}$$恰有一个黑球$${{”}}$$

B.$${{“}}$$至少有一个白球$${{”}}$$与$${{“}}$$至少有一个黑球$${{”}}$$

C.$${{“}}$$都是白球$${{”}}$$与$${{“}}$$至少有一个黑球$${{”}}$$

D.$${{“}}$$至少有一个黑球$${{”}}$$与$${{“}}$$都是黑球$${{”}}$$

9、['相互独立事件的概念'， '事件的互斥与对立'， '相互独立事件的概率']

正确率80.0%袋内有大小相同的$${{3}}$$个白球和$${{2}}$$个黑球，从中不放回地摸球，事件$${{A}}$$表示“第一次摸到白球”，事件$${{B}}$$表示“第二次摸到白球”，则事件$${{A}}$$与事件$${{B}}$$是（）

A.互斥事件

B.相互独立事件

C.对立事件

D.不相互独立事件

10、['相互独立事件的概念']

正确率80.0%抛掷$${{3}}$$枚质地均匀的硬币，事件$${{A}}$$表示“既有正面向上又有反面向上”，事件$${{B}}$$表示“至多有一个反面向上”，则事件$${{A}}$$与事件$${{B}}$$的关系是（）

A.互斥事件

B.对立事件

C.相互独立事件

D.不相互独立事件

1、首先分析正八面体的事件定义：

$$A$$：$$x$$为奇数，即$$x \in \{1, 3, 5, 7\}$$，概率$$P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$。
$$B$$：$$x$$为偶数，即$$x \in \{2, 4, 6, 8\}$$，概率$$P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$。
$$C$$：$$x$$为3的倍数，即$$x \in \{3, 6\}$$，概率$$P(C) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$。
$$D$$：$$x \leq 3$$，即$$x \in \{1, 2, 3\}$$，概率$$P(D) = \frac{3}{8}$$。

检查各选项的独立性条件$$P(X \cap Y) = P(X)P(Y)$$：

A选项：$$A$$与$$B$$互斥且对立，$$P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B) = \frac{1}{4}$$，不独立。
B选项：$$B$$与$$C$$的交集为$$x = 6$$，$$P(B \cap C) = \frac{1}{8}$$，而$$P(B)P(C) = \frac{1}{8}$$，独立。
C选项：$$A$$与$$D$$的交集为$$x \in \{1, 3\}$$，$$P(A \cap D) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$，而$$P(A)P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16}$$，不独立。
D选项：$$C$$与$$D$$的交集为$$x = 3$$，$$P(C \cap D) = \frac{1}{8}$$，而$$P(C)P(D) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{32}$$，不独立。

因此，正确答案是 B。

4、分析硬币抛掷事件：

$$A$$：第一枚正面，概率$$P(A) = \frac{1}{2}$$。
$$B$$：第二枚正面，概率$$P(B) = \frac{1}{2}$$。
$$C$$：两枚结果相同（正正或反反），概率$$P(C) = \frac{1}{2}$$。

检查独立性：

$$A$$与$$B$$：$$P(A \cap B) = \frac{1}{4} = P(A)P(B)$$，独立。
$$B$$与$$C$$：$$P(B \cap C) = P(\text{正正}) = \frac{1}{4}$$，而$$P(B)P(C) = \frac{1}{4}$$，独立。
$$A$$与$$C$$：$$P(A \cap C) = P(\text{正正}) = \frac{1}{4}$$，而$$P(A)P(C) = \frac{1}{4}$$，独立。

因此，三组事件均独立，正确答案是 D。

6、分析口袋取球事件：

总共有5个球（2白3黑），任取2球，组合数为$$C(5, 2) = 10$$。

A选项：“恰两个白球”与“恰一个黑球”互斥但对立（还有“恰两个黑球”情况），不符合要求。
B选项：“至少一个白球”与“至少一个黑球”不互斥（如1白1黑同时满足）。
C选项：“都是白球”与“至少一个黑球”互斥且对立，不符合要求。
D选项：“至少一个黑球”与“都是黑球”不互斥（“都是黑球”是“至少一个黑球”的子集）。

重新审题发现选项A描述有误，实际“恰两个白球”与“恰一个黑球”互斥且不对立（因为还有其他情况），但选项中无完全匹配。可能是题目描述问题，最接近的是 A。

9、分析不放回摸球事件：

$$P(A) = \frac{3}{5}$$，$$P(B)$$分两种情况：

第一次摸到白球后，$$P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$。
第一次摸到黑球后，$$P(B|\overline{A}) = \frac{3}{4}$$。

因此，$$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$$。但$$P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \neq P(A)P(B) = \frac{9}{25}$$，不独立。且$$A$$与$$B$$可能同时发生（第一次白第二次白），不互斥也不对立。正确答案是 D。

10、分析抛掷3枚硬币事件：

$$A$$：既有正面又有反面，即1或2个正面，概率$$P(A) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$。
$$B$$：至多一个反面，即0或1个反面，概率$$P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$。
$$A \cap B$$：1个反面（因为0个反面全正属于$$B$$但不属于$$A$$），概率$$P(A \cap B) = \frac{3}{8}$$。
而$$P(A)P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$，因此$$A$$与$$B$$独立。正确答案是 C。

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