.jpg)
正确率40.0%阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在阳马$$P-A B C D$$中$${，{P}{C}}$$为阳马$$P-A B C D$$中最长的棱$$A B=1， A D=2， P C=3，$$若在阳马$$P-A B C D$$的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为（）
C
A.$$\frac{1} {2 7 \pi}$$
B.$$\frac{4} {2 7 \pi}$$
C.$$\frac{8} {2 7 \pi}$$
D.$$\frac{4} {9 \pi}$$
2、['几何概型']正确率80.0%设函数$$f ( x )=a^{2} x+\frac{1} {x-1}+1 ( x > 1 )$$，在区间$$( 0， 3 )$$内随机抽取两个实数分别记为$${{a}}$$，$${{b}}$$，则$$f ( x ) > b^{2}$$恒成立的概率是$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
3、['几何概型']正确率80.0%svg异常
A.$$\frac{\pi} {3}-1$$
B.$$\frac{\pi} {2}-1$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {5}$$
4、['几何概型']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{6}{−}{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{9}{−}{6}{\sqrt {2}}}$$
D.$$1 2-8 \sqrt2$$
5、['一元二次方程的解集'， '几何概型']正确率60.0%在区间$${{[}{−}{2}}$$，$${{2}{]}}$$内随机取一个数$${{a}}$$，则关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}-2 x+a=0$$有实根的概率是（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
6、['相互独立事件的概率'， '几何概型']正确率60.0%小李与小方是同一公司的职员，他们公司的班车早上$${{7}}$$点到达$${{A}}$$地，停留$${{2}{0}}$$分钟，他们在$${{6}{:}{{4}{0}}}$$至$${{7}{:}{{3}{0}}}$$之间到达$${{A}}$$地搭乘班车，且到达$${{A}}$$地的时刻是随机的，则他们两人都能赶上公司班车的概率为（）
B
A.$${{0}{.}{6}}$$
B.$${{0}{.}{6}{4}}$$
C.$${{0}{.}{7}{2}}$$
D.$${{0}{.}{8}}$$
7、['几何概型']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {5}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3}} {5}$$
8、['几何概型']正确率60.0%在区间$${{[}{{−}{1}{，}{8}}{]}}$$上随机选取一个实数$${{x}}$$，则事件$${^\it` ` 4}^{x}-6 4 \geqslant0^{\it"}$$发生的概率是（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{8} {9}$$
9、['几何概型']正确率60.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边长为$${{2}{，}{H}}$$是边$${{D}{A}}$$的中点，在正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$内部随机取一点$${{P}}$$，则满足$$| P H | < \sqrt{2}$$的概率为（）
B
A.$$\begin{array} {c l} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {8}+\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {4}+\frac{1} {4}$$
10、['几何概型']正确率60.0%svg异常
B
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
1. 首先确定阳马的外接球半径。阳马$$P-ABCD$$的底面为长方形$$ABCD$$，且$$PC$$垂直于底面。设$$PC = h = 3$$，底面边长$$AB = 1$$，$$AD = 2$$。长方体的对角线为$$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$。外接球的球心在$$PC$$的中点，半径为$$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$。外接球体积为$$\frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^3 = \frac{7\sqrt{14}\pi}{3}$$。阳马体积为$$\frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times 3 = 2$$。概率为$$\frac{2}{\frac{7\sqrt{14}\pi}{3}} = \frac{6}{7\sqrt{14}\pi}$$，但选项中没有此答案，可能是简化或计算错误。重新计算发现外接球半径应为$$\frac{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$，体积为$$\frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^3 = \frac{7\sqrt{14}\pi}{3}$$。阳马体积为$$\frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times 3 = 2$$。概率为$$\frac{2}{\frac{7\sqrt{14}\pi}{3}} = \frac{6}{7\sqrt{14}\pi}$$，但选项中最接近的是$$\frac{4}{9\pi}$$（D选项），可能是近似或题目理解有误。
2. 函数$$f(x) = a^2x + \frac{1}{x-1} + 1$$在$$x > 1$$时，要求$$f(x) > b^2$$恒成立。首先求$$f(x)$$的最小值，对$$f(x)$$求导得$$f'(x) = a^2 - \frac{1}{(x-1)^2}$$，令导数为零得$$x = 1 + \frac{1}{a}$$。代入得最小值为$$f\left(1 + \frac{1}{a}\right) = a^2\left(1 + \frac{1}{a}\right) + \frac{1}{\frac{1}{a}} + 1 = a^2 + a + a + 1 = a^2 + 2a + 1$$。因此要求$$a^2 + 2a + 1 > b^2$$。在$$a, b \in (0, 3)$$的区域内，满足$$a^2 + 2a + 1 > b^2$$的区域面积为$$\int_0^3 \min(3, \sqrt{a^2 + 2a + 1}) da = \int_0^3 (a + 1) da = \frac{(3 + 1)^2 - 1^2}{2} = 8$$。总面积为$$3 \times 3 = 9$$，概率为$$\frac{8}{9}$$（D选项）。
3. 题目描述不完整，无法解析。
4. 题目描述不完整，无法解析。
5. 方程$$x^2 - 2x + a = 0$$有实根的条件是判别式$$\Delta = 4 - 4a \geq 0$$，即$$a \leq 1$$。在区间$$[-2, 2]$$内，$$a \leq 1$$的长度为$$1 - (-2) = 3$$，总长度为$$2 - (-2) = 4$$，概率为$$\frac{3}{4}$$（C选项）。
6. 两人到达时间在$$6:40$$到$$7:30$$之间，共50分钟。班车在$$7:00$$到$$7:20$$停留，两人必须都在$$6:40$$到$$7:20$$之间到达才能赶上。有效时间为40分钟，概率为$$\left(\frac{40}{50}\right)^2 = 0.64$$（B选项）。
7. 题目描述不完整，无法解析。
8. 不等式$$4^x - 64 \geq 0$$等价于$$4^x \geq 64$$，即$$x \geq 3$$。区间$$[-1, 8]$$的长度为$$9$$，满足条件的长度为$$8 - 3 = 5$$，概率为$$\frac{5}{9}$$（B选项）。
9. 正方形面积为$$4$$。点$$P$$满足$$|PH| < \sqrt{2}$$的区域是以$$H$$为圆心，半径为$$\sqrt{2}$$的圆与正方形的交集。圆的面积为$$\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$$，但在正方形内只有四分之一圆，面积为$$\frac{\pi}{2}$$。加上矩形部分，总面积为$$\frac{\pi}{2} + 1$$，概率为$$\frac{\frac{\pi}{2} + 1}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$$（B选项）。
10. 题目描述不完整，无法解析。