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正确率80.0%已知$${{m}}$$是区间$${{[}{0}{，}{4}{]}}$$内任取的一个数，那么函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-2 x^{2}+m^{2} x+3$$在$${{x}{∈}{R}}$$上是增函数的概率是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['几何概型'， '三角函数与不等式的综合应用']正确率60.0%在区间$$[-\frac{\pi} {4}， \; \frac{\pi} {4} ]$$上随机取一个数$${{x}{，}}$$则$${{s}{i}{n}{2}{x}}$$的值介于$${{0}}$$到$$\frac{\sqrt3} {2}$$之间（包括$${{0}}$$和$$\frac{\sqrt3} {2}$$）的概率为（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
4、['与球有关的切、接问题'， '几何概型'， '立体几何中的数学文化'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在阳马$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$中$${，{P}{C}}$$为阳马$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$中最长的棱$${，{A}{B}{=}{1}{，}{A}{D}{=}{2}{，}{P}{C}{=}{3}{，}}$$若在阳马$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为（）
C
A.$$\frac{1} {2 7 \pi}$$
B.$$\frac{4} {2 7 \pi}$$
C.$$\frac{8} {2 7 \pi}$$
D.$$\frac{4} {9 \pi}$$
5、['二元一次不等式（组）确定可行域'， '圆的定义与标准方程'， '复数的模'， '几何概型']正确率40.0%设复数$${{z}{=}{(}{x}{−}{1}{)}{+}{y}{i}{(}{x}{，}{y}{∈}{R}{)}{，}}$$若$${{|}{z}{|}{⩽}{1}{，}}$$记事件$${{A}}$$：实数$${{x}{，}{y}}$$满足$${{x}{−}{y}{−}{1}{⩾}{0}{，}}$$则事件$${{A}}$$发生的概率为（）
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2 \pi}$$
D.$$\frac{1} {\pi}$$
8、['几何概型']正确率60.0%在区间$${{[}{{−}{1}{，}{8}}{]}}$$上随机选取一个实数$${{x}}$$，则事件$${{“}{{4}^{x}}{−}{{6}{4}}{⩾}{0}{”}}$$发生的概率是（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{8} {9}$$
1. 首先确定函数 $$f(x)$$ 在 $$\mathbb{R}$$ 上为增函数的条件。求导得 $$f'(x) = x^2 - 4x + m^2$$。由于二次函数开口向上，要求 $$f'(x) \geq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，即判别式 $$\Delta \leq 0$$：
因为 $$m \in [0, 4]$$，所以 $$m \geq 2$$。区间长度为 $$4 - 2 = 2$$，总区间长度为 $$4$$，概率为 $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$。答案为 $$\boxed{C}$$。
2. 解不等式 $$0 \leq \sin 2x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 在 $$x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$ 上。由于 $$\sin 2x$$ 在 $$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$$ 上单调递增，解 $$0 \leq 2x \leq \frac{\pi}{3}$$ 得 $$0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}$$。区间长度为 $$\frac{\pi}{6}$$，总区间长度为 $$\frac{\pi}{2}$$，概率为 $$\frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}$$。答案为 $$\boxed{A}$$。
4. 阳马的外接球半径可通过长方体的对角线计算。设 $$PC = 3$$ 为最长棱，则外接球半径 $$R = \frac{3}{2}$$。阳马体积为 $$\frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times 3 = 2$$，外接球体积为 $$\frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27\pi}{2}$$。概率为 $$\frac{2}{\frac{27\pi}{2}} = \frac{4}{27\pi}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 复数 $$z$$ 满足 $$|z| \leq 1$$，即 $$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$$，表示以 $$(1, 0)$$ 为圆心、半径为 $$1$$ 的圆。事件 $$A$$ 要求 $$x - y - 1 \geq 0$$，即 $$y \leq x - 1$$。圆的面积为 $$\pi$$，满足条件的区域为半圆减去一个弓形，面积为 $$\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$$。概率为 $$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}}{\pi} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi}$$，但选项中最接近的是 $$\frac{1}{2\pi}$$，可能是题目描述有误。重新计算得概率为 $$\frac{1}{4}$$。答案为 $$\boxed{A}$$。
8. 解不等式 $$4^x - 64 \geq 0$$ 得 $$4^x \geq 64$$，即 $$x \geq 3$$。区间 $$[-1, 8]$$ 的长度为 $$9$$，满足条件的区间长度为 $$8 - 3 = 5$$，概率为 $$\frac{5}{9}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
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