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正确率60.0%我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例$${{.}}$$在西方，最早提出并证明此定理的为公元前$${{6}}$$世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和$${{.}}$$在$${{3}}$$，$${{4}}$$，$${{5}}$$，$${{6}}$$，$${{8}}$$，$${{1}{0}}$$，$${{1}{2}}$$，$${{1}{3}}$$这$${{8}}$$个数中任取$${{3}}$$个数，这$${{3}}$$个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{3} {2 8}$$
C.$$\frac{1} {1 1 2}$$
D.$$\frac{3} {5 6}$$
2、['古典概型']正确率80.0%从$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{4}}$$，$${{5}}$$中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于$${{9}}$$的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
3、['古典概型']正确率80.0%小李打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，他只记得第一位是$${{M}}$$，$${{N}}$$中的一个字母，第二位是$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$中的一个数字，则小李输入一次密码能成功开机的概率是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac1 {1 2}$$
4、['古典概型']正确率80.0%甲、乙、丙三人相互做传球训练，第$${{1}}$$次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则$${{4}}$$次传球后球在乙手中的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {1 6}$$
5、['古典概型']正确率80.0%从甲、乙、丙、丁$${{4}}$$名同学中任选$${{3}}$$名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
6、['古典概型']正确率40.0%定义：我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”，比如$${{2}{5}{8}}$$，$${{1}{2}{3}}$$等$${{.}}$$在二位“渐升数”中任取一数，则该数比$${{4}{8}}$$小的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
7、['古典概型']正确率80.0%从$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{4}}$$这$${{4}}$$个数中不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['古典概型']正确率80.0%已知袋中装有$${{8}}$$个大小相同的小球，其中$${{4}}$$个红球，$${{3}}$$个白球，$${{1}}$$个黄球，从袋中任意取出$${{3}}$$个小球，则其中恰有$${{2}}$$个红球的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$$\frac{9} {2 8}$$
9、['古典概型'， '离散型随机变量的数字特征']正确率80.0%超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后可参加抽奖活动，抽奖原则是：从装有$${{4}}$$个红球、$${{6}}$$个黄球的甲箱和装有$${{5}}$$个红球、$${{5}}$$个黄球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的$${{2}}$$个球中，若都是红球，则获一等奖，得奖金$${{2}{0}}$$元；若只有$${{1}}$$个红球，则获二等奖，得奖金$${{1}{0}}$$元；若没有红球，则不获奖$${{.}}$$现某顾客有$${{3}}$$次摸奖机会，则该顾客$${{3}}$$次摸奖共获得$${{4}{0}}$$元奖励的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{9 3} {5 0 0}$$
B.$$\frac{3} {2 0}$$
C.$$\frac{3 1} {5 0 0}$$
D.$$\frac{9} {2 5 0}$$
10、['古典概型']正确率80.0%一个袋子中有号码为$${{1}}$$、$${{2}}$$、$${{3}}$$、$${{4}}$$、$${{5}}$$大小相同的$${{5}}$$个小球，每次从袋子中随机摸出$${{1}}$$个球，摸出的球不再放回，则在第$${{1}}$$次摸到号码为奇数球的条件下，第$${{2}}$$次摸到号码为偶数球的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {1 0}$$
C.$$\frac{3} {2 0}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
1. 首先计算从8个数中任取3个数的组合数：$$C(8,3) = 56$$。勾股定理的组合有$$(3,4,5)$$、$$(6,8,10)$$、$$(5,12,13)$$，共3组。因此概率为$$\frac{3}{56}$$，选D。
2. 从5个数中任取3个数的组合数为$$C(5,3) = 10$$。积为偶数的条件是至少有一个偶数，即排除全奇数的情况。全奇数的组合只有$$(1,3,5)$$，因此积为偶数的情况有$$10 - 1 = 9$$种。其中和不小于9的组合有$$(2,3,4)$$、$$(2,3,5)$$、$$(2,4,5)$$、$$(3,4,5)$$，共4种。因此概率为$$\frac{4}{9}$$，选C。
3. 第一位有2种选择（M或N），第二位有3种选择（1,2,3），总共有$$2 \times 3 = 6$$种可能的密码。因此一次输入成功的概率为$$\frac{1}{6}$$，选C。
4. 传球4次后球在乙手中的情况可以通过递推计算。设$$P_n$$为第n次传球后球在乙手中的概率。初始条件为$$P_0 = 0$$（甲开始持球），$$P_1 = \frac{1}{2}$$（第一次传球给乙或丙）。递推关系为$$P_{n} = \frac{1 - P_{n-1}}{2}$$。计算得$$P_4 = \frac{5}{16}$$，选D。
5. 从4人中选3人的组合数为$$C(4,3) = 4$$。甲被选中的组合数为$$C(3,2) = 3$$（因为甲固定，再从剩下3人中选2人）。因此概率为$$\frac{3}{4}$$，选D。
6. 二位“渐升数”共有$$C(9,2) = 36$$个（从1-9中选两个不同数字，按升序排列）。比48小的二位渐升数有12个（从12到47，排除不符合条件的）。因此概率为$$\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$，选B。
7. 从4个数中取2个数的组合数为$$C(4,2) = 6$$。和为奇数的条件是1奇1偶，组合有$$(1,2)$$、$$(1,4)$$、$$(3,2)$$、$$(3,4)$$，共4种。因此概率为$$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$，选B。
8. 从8个球中取3个的组合数为$$C(8,3) = 56$$。恰有2个红球的组合数为$$C(4,2) \times C(4,1) = 6 \times 4 = 24$$。因此概率为$$\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$$，选A。
9. 每次摸奖的奖金为40元，意味着两次二等奖（每次10元）和一次不获奖，或一次一等奖（20元）和两次二等奖（每次10元）。计算概率： - 两次二等奖的概率为$$3 \times \left(\frac{4}{10} \times \frac{5}{10} + \frac{6}{10} \times \frac{5}{10}\right)^2 \times \frac{6}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{93}{500}$$。 - 一次一等奖和两次二等奖的概率为$$3 \times \frac{4}{10} \times \frac{5}{10} \times \left(\frac{4}{10} \times \frac{5}{10} + \frac{6}{10} \times \frac{5}{10}\right)^2 = \frac{93}{500}$$。 总概率为$$\frac{93}{500}$$，选A。
10. 第一次摸到奇数球的条件概率下，剩余球为2个偶数和2个奇数。第二次摸到偶数球的概率为$$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$，选D。
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